《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

8. 如图，$AB$为$\odot O$的直径，动弦$CD\perp OA$于点$P$，连结$BC$，$DA$并延长交于点$F$，$DE\perp BC$于点$E$，交$AB$于点$G$.
(1)求证：$AP=PG$.
(2)设$\angle CDE=\alpha$，$\angle F=\beta$.
①求$\beta$关于$\alpha$的函数关系式.
②当$P,G,O$三点中恰有一点是另两点构成的线段中点时，求出所有符合条件的$\tan\alpha\cdot\tan\beta$的值.
第8题图

答案：
(1)略
(2)①$\beta=90^\circ-\alpha$
②$\frac{1}{2}$或$2$
①$\angle CDE=\alpha$，$\angle DCE=90^\circ-\alpha$，$\angle F=\angle DCE=90^\circ-\alpha$，故$\beta=90^\circ-\alpha$.
②分三种情况：
当$P$是$OG$中点时，$\tan\alpha\cdot\tan\beta=\frac{1}{2}$；
当$G$是$OP$中点时，$\tan\alpha\cdot\tan\beta=2$；
当$O$是$PG$中点时，无解.
综上，值为$\frac{1}{2}$或$2$.

9. 在平面直角坐标系中，抛物线$y=mx^2-4mx+4m-2$的顶点为$M$. 横、纵坐标都是整数的点叫作整点. 若$MN// y$轴且$MN=2$.
(1)求点$N$的坐标.
(2)过点$N$作$y$轴的垂线$l$，若直线$l$与抛物线交于$P,Q$两点，该抛物线在$P,Q$之间的部分与线段$PQ$所围成的区域（包括边界）恰有7个整点，结合函数图象，求$m$的取值范围.

答案：
(1)$(2,0)$或$(2,-4)$
$y=m(x-2)^2-2$，顶点$M(2,-2)$，$MN// y$轴且$MN=2$，故$N(2,0)$或$(2,-4)$.
(2)$\frac{1}{2}\leq m＜1$或$-1＜m\leq-\frac{1}{2}$
当$N(2,0)$时，$l:y=0$，与抛物线交于$P,Q$，区域内7个整点，$m\in[\frac{1}{2},1)$；
当$N(2,-4)$时，$l:y=-4$，同理得$m\in(-1,-\frac{1}{2}]$.
综上，$m$的取值范围是$\frac{1}{2}\leq m＜1$或$-1＜m\leq-\frac{1}{2}$.