《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

5.一等腰三角形的腰长为3，底长为2，则其底角的余弦值为______.

答案： $\frac{1}{3}$
解析：作底边上的高，将等腰三角形分为两个直角三角形，底角邻边为$ \frac{2}{2} = 1 $，腰长为3，故底角余弦值$ = \frac{1}{3} $。

6.如图，在一笔直的沿湖道路l上有A,B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东$ 60^\circ $的方向，在码头B北偏西$ 45^\circ $的方向.小亮从点A出发，沿AB开车，速度为$ v_1 $，小张从岛屿C乘船沿CB回到码头B，游船速度为$ v_2 $.若两人到码头B所用时间相等，则$ \frac{v_1}{v_2}= $______（结果保留根号）.

答案： $\frac{\sqrt{6}}{2}$
解析：设$ AB = x $，$ BC = y $，由正弦定理$ \frac{AC}{\sin45^\circ} = \frac{BC}{\sin60^\circ} = \frac{AB}{\sin75^\circ} $。
时间相等：$ \frac{x}{v_1} = \frac{y}{v_2} $，$ \frac{v_1}{v_2} = \frac{x}{y} = \frac{\sin75^\circ}{\sin60^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{2} $。

7.如图，BC为$ Rt\triangle ABC $的斜边，$ \angle CBA=30^\circ $，$ \triangle ABD,\triangle ACF,\triangle BCE $均为正三角形，四边形MNPE为矩形，点F在MN上，点D在NP上.若$ AC=2 $，则图中空白部分的面积是______.

答案： $ 12 - 2\sqrt{3} $
解析：$ AC = 2 $，$ \angle ABC = 30^\circ $，则$ AB = 4 $，$ BC = 2\sqrt{3} $。
正三角形面积：$ S_{\triangle ABD} = 4\sqrt{3} $，$ S_{\triangle ACF} = \sqrt{3} $，$ S_{\triangle BCE} = 3\sqrt{3} $。
矩形MNPE面积：$ 6 $，空白面积$ = 4\sqrt{3} + \sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 6 - (2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) = 12 - 2\sqrt{3} $。

8.如图，在2×2的网格中，以点O为圆心，2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则$ \tan\angle ABO $的值为______.

答案： $ 2 - \sqrt{3} $
解析：设O为原点，格线交点坐标为$ (1,0),(0,1) $等，圆弧方程$ x^2 + y^2 = 4 $，交格线$ x = 1 $于A$ (1,\sqrt{3}) $。
$ B(2,0) $，$ \tan\angle ABO = \frac{\sqrt{3}}{2 - 1} = 2 - \sqrt{3} $。