《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

6. 如图，边长为a，b的矩形的周长为4，面积为1，则$a^{2}b + ab^{2}$的值为______．

答案： 2
解析：矩形周长为$2(a + b) = 4$，则$a + b = 2$；面积为$ab = 1$。$a^{2}b + ab^{2} = ab(a + b) = 1×2 = 2$。

7. 图1是用长方形纸板做成的四巧板（已知线段长度如图所示），用它拼成图2的“T”字形图形，则“T”字形图形的周长为______．（用含m，n的代数式表示）

答案： 8m + 4n
解析：分析图1各板块尺寸，拼成图2“T”字形后，外围边长总和为水平方向$4m + 2n + 2n$与垂直方向$4m$，合计$8m + 4n$。

8. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．新能源车每千米行驶费用：______元（用含a的代数式表示）

答案： $\frac{36}{a}$
解析：电池电量60kW·h，电价0.6元/kW·h，总电费为$60×0.6 = 36$元，续航里程a km，每千米费用为$\frac{36}{a}$元。

9. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且$m - n＞1$，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，$16 = 5^{2}-3^{2}$，16就是一个智慧优数，可以利用等式$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是______，第23个智慧优数是______．

答案： 15，70
解析：由$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$，$m - n\geq2$，$m + n＞m - n$且同奇偶。从小到大的智慧优数依次为：8（$3^{2}-1^{2}$），12（$4^{2}-2^{2}$），15（$4^{2}-1^{2}$），16（$5^{2}-3^{2}$），20（$6^{2}-4^{2}$），21（$5^{2}-2^{2}$），24（$7^{2}-5^{2}$），27（$6^{2}-3^{2}$），32（$6^{2}-2^{2}$），35（$6^{2}-1^{2}$），39（$7^{2}-4^{2}$），40（$8^{2}-6^{2}$），44（$7^{2}-3^{2}$），45（$7^{2}-2^{2}$），48（$8^{2}-4^{2}$），51（$8^{2}-5^{2}$），52（$9^{2}-7^{2}$），55（$8^{2}-1^{2}$），56（$9^{2}-5^{2}$），60（$10^{2}-8^{2}$），63（$8^{2}-1^{2}$），65（$9^{2}-4^{2}$），70（$10^{2}-5^{2}$）。第3个是15，第23个是70。

10. 如图所示，在矩形ABCD中，点E在BC上，$BC = 13$，$BE = BA = 10$．分别在边AB，CD上取点F，G，且$BF = DG$，现以BE，BF为边作矩形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，它们重叠部分为四边形KILH，若四边形KILH两邻边比为3∶4，则图中的阴影部分的面积和（$S_{1}+S_{2}$）的值为______．

答案： 44
解析：设$BF = DG = x$，则$BH = BF = x$，$BE = 10$，$EC = 13 - 10 = 3$，$DG = x$，$CG = 10 - x$。矩形BEHF中$EH = BE = 10$，正方形DGIJ中$DJ = DG = x$，$IJ = x$。重叠部分KILH的边长为$EH - DJ = 10 - x$和$BH - EC = x - 3$（需$x＞3$）。由$(10 - x)∶(x - 3)=3∶4$或$4∶3$，解得$x = 7$（另一解不合题意）。$S_{1} = (10 - 7)(7 - 3)=12$，$S_{2} = 7×7 - 12 = 32$，$S_{1}+S_{2}=12 + 32 = 44$。