《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

3.定义$a\otimes b=2a+\frac{1}{b}$，则方程$3\otimes x=4\otimes 2$的解为( )
A.$x=\frac{1}{5}$
B.$x=\frac{2}{5}$
C.$x=\frac{3}{5}$
D.$x=\frac{4}{5}$

答案： B
解析：$3\otimes x=2×3+\frac{1}{x}=6+\frac{1}{x}$，$4\otimes 2=2×4+\frac{1}{2}=8+\frac{1}{2}=\frac{17}{2}$。
方程为$6+\frac{1}{x}=\frac{17}{2}$，解得$\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$，$x=\frac{2}{5}$。

4.某校购买了一批篮球和足球.已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元.根据题意可列方程$\frac{5000}{2x}=\frac{4000}{x}-30$，则方程中$x$表示( )
A.足球的单价
B.篮球的单价
C.足球的数量
D.篮球的数量

答案： D
解析：设篮球数量为$x$，则足球数量为$2x$。足球单价$\frac{5000}{2x}$，篮球单价$\frac{4000}{x}$，由篮球单价比足球贵30元得$\frac{4000}{x}-\frac{5000}{2x}=30$，即$\frac{5000}{2x}=\frac{4000}{x}-30$，故$x$表示篮球数量。

5.如图，边长为$a$的大正方形剪去4个边长为$x$的小正方形，做成一个无盖纸盒.若无盖纸盒的底面积与表面积之比为$3:5$，则根据题意可知$a$，$x$满足的关系式为( )
A.$\frac{a+2x}{a-2x}=\frac{3}{5}$
B.$\frac{a-2x}{a+2x}=\frac{3}{5}$
C.$\frac{a+x}{a-x}=\frac{2}{5}$
D.$\frac{a-x}{a+x}=\frac{2}{5}$

答案： B
解析：底面积$(a-2x)^2$，表面积$(a-2x)^2+4x(a-2x)=(a-2x)(a+2x)$。
由底面积与表面积之比$3:5$得$\frac{(a-2x)^2}{(a-2x)(a+2x)}=\frac{3}{5}$，化简$\frac{a-2x}{a+2x}=\frac{3}{5}$。

二、填空题
6.在解分式方程$\frac{3-x}{x-4}+\frac{1}{4-x}=1$时，方程两边同乘以的最佳式子是______.

答案： $x-4$
解析：$4-x=-(x-4)$，最简公分母为$x-4$，两边同乘$x-4$可去分母。

7.分式方程$\frac{2x-1}{x-2}=1$的解为______.

答案： $x=-1$
解析：两边同乘$x-2$得$2x-1=x-2$，解得$x=-1$。检验：$x=-1$时，$x-2\neq0$，所以解为$x=-1$。

8.随着疫情得到有效控制，快递业务增加，一快递公司为快递员更换了电瓶车，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件.若快递公司的快递员人数不变，则原来平均每人每周投递快件多少件？若设原来平均每人每周投递快件$x$件，根据题意可列方程为______.

答案： $\frac{3000}{x}=\frac{4200}{x+80}$
解析：原来人数$\frac{3000}{x}$，现在人数$\frac{4200}{x+80}$，人数相等，故方程为$\frac{3000}{x}=\frac{4200}{x+80}$。

9.对于实数$a$，$b$定义一种新运算“@”为$a@b=\frac{1}{a^2-b}$，这里等式右边是实数运算.例如：$1@3=\frac{1}{1^2-3}=\frac{1}{1-3}=-\frac{1}{2}$，则方程$(-3)@x=\frac{1}{x-9}-2$的解是______.

答案： $x=10$
解析：$(-3)@x=\frac{1}{(-3)^2-x}=\frac{1}{9-x}$，方程为$\frac{1}{9-x}=\frac{1}{x-9}-2$。
即$-\frac{1}{x-9}=\frac{1}{x-9}-2$，移项$-\frac{2}{x-9}=-2$，解得$x-9=1$，$x=10$。检验：$x=10$时，分母不为0，所以解为$x=10$。

10.若关于$x$的分式方程$\frac{ax}{x-3}=\frac{4}{x-3}+1$无解，则$a$的值是______.

答案： $1$或$\frac{4}{3}$
解析：两边同乘$x-3$得$ax=4+x-3$，即$(a-1)x=1$。
当$a-1=0$，即$a=1$时，$0x=1$无解；
当$x=3$为增根时，代入$(a-1)×3=1$，$a=\frac{4}{3}$。
综上，$a=1$或$\frac{4}{3}$。