《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,0)，点Q在直线$y=\sqrt{3}x$上，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连结OP，则OP+AP的最小值为______.

答案： $2\sqrt{7}$
作点O关于直线AP的对称点O'，或利用旋转，将△AOP绕A顺时针转60°得△AO'P'，OP+AP=O'P'+AP，当O',P',A共线时最小，计算得最小值$2\sqrt{7}.$

9.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A₁B₁C₁.
(2)请画出△ABC关于原点对称的△A₂B₂C₂.
(3)在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标.

答案：
(1)图略，A₁(-4,1),B₁(-1,2),C₁(-2,4).
(2)图略，A₂(-1,-1),B₂(-4,-2),C₂(-3,-4).
(3)P(2,0).作A关于x轴对称点A'(1,-1)，连A'B交x轴于P(2,0).

10.如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，使点B落在AD边上的点E处，连结BG交CE于点H，连结BE.
(1)求证：BE平分∠AEC.
(2)取BC中点P，连结PH，求证：PH//CG.
(3)若BC=2AB=2，求BG的长.

答案：
(1)BC=EC（旋转），∠BEC=∠EBC，AD//BC，∠AEB=∠EBC，
∴∠AEB=∠BEC，BE平分∠AEC.
(2)P为BC中点，BP=PC=EC/2，△BHC∽△GHE，BH=HG，P为BC中点，
∴PH是△BCG中位线，PH//CG.
$(3)\sqrt{5}$
BC=2，AB=1，设AE=x，DE=2-x，EC=BC=2，DC=1，Rt△DEC中，(2-x)²+1²=2²，$x=2-\sqrt{3}，$$BE²=AE²+AB²= (2-\sqrt{3})²+1=8-4\sqrt{3}，$BG=2BH，$BH=\frac{\sqrt{5}}{2}，$$BG=\sqrt{5}.$