《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

2. 如图，在□ABCD中，E为AD的中点. 已知△DEF的面积为S，则△BCF的面积为（ ）
A. S
B. 2S
C. 3S
D. 4S

答案： D
解析：在□ABCD中，AD//BC，AD=BC。
∵E为AD中点，
∴$DE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$。
∵AD//BC，
∴△DEF∽△BCF，相似比为$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle BCF}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，则$S_{\triangle BCF}=4S$。

3. 同学们在科学课上做“小孔成像”实验. 如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离为m，当蜡烛火焰的高度AB是它在光屏上所成的像A′B′高度的$\frac{1}{3}$时，带“小孔”的纸板距离光屏（ ）
A. m
B. $\frac{1}{3}m$
C. 3m
D. $\frac{1}{2}m$

答案： C
解析：小孔成像中，像高与物高的比等于像距与物距的比。设纸板距离光屏为v，物距为m，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{m}{v}=\frac{1}{3}$，解得$v=3m$。

4. 如图，矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP，△APD，△CDP两两相似，则a，b间的关系式一定满足（ ）
A. $a\geq\frac{1}{2}b$
B. $a\geq b$
C. $a\geq\frac{3}{2}b$
D. $a\geq2b$

答案： D
解析：设$BP=x$，则$PC=a-x$。由△ABP∽△PCD（∠B=∠C=90°），得$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$，即$\frac{b}{a-x}=\frac{x}{b}$，整理得$x^2-ax+b^2=0$。
要使方程有实根，判别式$\Delta=a^2-4b^2\geq0$，即$a\geq2b$。

5. 如图，已知$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}=k$，请再添加一个条件，使△ABC∽△ACD，你添加的条件是 ．（写出一个即可）

答案： ∠BAC=∠CAD
解析：已知$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}=k$，即两边对应成比例，添加夹角相等$∠BAC=∠CAD$，可由“两边成比例且夹角相等”判定△ABC∽△ACD。

6. 如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．若两个三角形满足$S_{\triangle ABC}∶S_{\triangle DEC}＝4∶9$，BC＝6，则EC的长为 ．

答案： 9
解析：
∵∠BCE=∠ACD，
∴∠ACB=∠DCE（等式性质）。又∠A=∠D，
∴△ABC∽△DEC。
∵面积比为4∶9，
∴相似比为2∶3，即$\frac{BC}{EC}=\frac{2}{3}$。
∵BC=6，
∴$EC=6×\frac{3}{2}=9$。