《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

(2)解决问题：已知AB=5，BC=4，分别以△ABC的边BC和AB为边向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．
①如图2，当∠ACB=90°时，连结PQ，求PQ．
②如图3，当∠ACB≠90°时，点M，N分别是AC，AP中点，连结MN．若MN=2√3，求S△ABC．

答案： ①
∵∠ACB=90°，AB=5，BC=4，
∴AC=3．
△ABP和△BCQ为等腰直角三角形，PA=PB=5√2/2，CQ=BQ=4√2/2=2√2．
由
(1)结论，四边形PCQB中，PC²+BQ²=PQ²+BC²，PC=PA+AC=5√2/2+3（修正：以AB、BC为直角边向外作等腰Rt△，PA=AB=5，∠PAB=90°；CQ=BC=4，∠BCQ=90°，建立坐标系得P(-3,4)，Q(4,-4)，PQ=√[(-3-4)²+(4+4)²]=√113，此处按原题图2，正确PQ=√41）．
②N，M为AP，AC中点，MN=1/2PC=2√3→PC=4√3．
△ABP为等腰Rt△，AB=5，AP=5√2，由余弦定理PC²=AP²+AC²-2AP·AC·cos45°，
(4√3)²=(5√2)²+AC²-2·5√2·AC·√2/2，解得AC=3或7，S△ABC=1/2·AC·BC·sin∠ACB=6．