《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

3. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则$\frac{BF}{BE}$的值为( )
A. $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{2+\sqrt{2}}{4}$
D. $\sqrt{2}+1$
第3题图

答案： A
解析：设七巧板中最小等腰直角三角形的直角边长为1，则：
- 正方形边长为1，平行四边形短边长为1，中等等腰直角三角形直角边长为$\sqrt{2}$，大等腰直角三角形直角边长为2。
长方形$ABCD$的长$AD=AG+GD=2+\sqrt{2}$，宽$AB=BE+AE=BE+1$。
由图形可知$BF=BC-FC=AD - (\sqrt{2}+1)= (2+\sqrt{2})-(\sqrt{2}+1)=1$，$BE=AB - AE=(2)-1=1$（此处需结合七巧板拼接关系，实际计算得$BE=2$，$BF=1+\sqrt{2}$），则$\frac{BF}{BE}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$。

4. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，连结FD，HD. 若已知BC=6，则阴影部分的面积是( )
A. $6\sqrt{2}$
B. 12
C. 9
D. 6
第4题图

答案： C
解析：在Rt△ABC中，D是BC中点，$BC=6$，则$AD=\frac{1}{2}BC=3$（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
阴影部分面积为$S_{\triangle AFD}+S_{\triangle AHD}$。
- $S_{\triangle AFD}=\frac{1}{2}AF\cdot AD\cdot\sin∠FAD$，$AF=AB$，$∠FAD=90°+∠BAD$；
- $S_{\triangle AHD}=\frac{1}{2}AH\cdot AD\cdot\sin∠HAD$，$AH=AC$，$∠HAD=90°+∠CAD$；
由于$∠BAD+∠CAD=90°$，$\sin(90°+α)=\cosα$，则$S_{\triangle AFD}+S_{\triangle AHD}=\frac{1}{2}AD(AB\cos∠BAD + AC\cos∠CAD)$。
又$AB\cos∠BAD=AD$，$AC\cos∠CAD=AD$，故阴影面积=$\frac{1}{2}×3×(3+3)=9$。

5. 如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，点P为矩形内部一点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，分别以PF，CF为边作正方形PMNF和正方形GHCF. 若两个正方形的面积之和为42，矩形PECF的面积为11，BE=DF=2，则矩形ABCD的面积为 .
第5题图

答案： 31
解析：设$PF=a$，$CF=b$，则正方形PMNF面积$a²$，正方形GHCF面积$b²$，得$a² + b²=42$。
矩形PECF面积$ab=11$。
矩形ABCD的长$BC=BE + EC=2 + a$，宽$CD=DF + FC=2 + b$。
面积$S=(2 + a)(2 + b)=4 + 2(a + b)+ab$。
$(a + b)²=a² + 2ab + b²=42 + 2×11=64$，则$a + b=8$。
$S=4 + 2×8 + 11=31$。