《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

10.如图，AB为$ \odot O $的直径，点C在直径AB上（点C与A,B两点不重合），$ OC=3 $，点D在$ \odot O $上且满足$ AC=AD $，连接DC并延长到E点，使$ BE=BD $.
(1)求证：BE是$ \odot O $的切线.
(2)若$ BE=6 $，试求$ \cos\angle CDA $的值.

答案：
(1)证明：连接OD，
∵$ AC = AD $，
∴$ \angle ACD = \angle ADC $。
∵$ BE = BD $，
∴$ \angle BDE = \angle BED $，又$ \angle ACD = \angle ECB $，故$ \angle ODB + \angle BDE = 90^\circ $，$ OD \perp BE $，即BE是切线。
(2)解：设$ \odot O $半径为$ r $，$ OC = 3 $，则$ AC = AD = r + 3 $，$ BE = BD = CD = 6 $。
在$ \triangle OBD $中，$ r^2 + 6^2 = (r + 3)^2 $，解得$ r = \frac{9}{2} $。
$ \cos\angle CDA = \cos\angle ACD = \frac{CD^2 + AC^2 - AD^2}{2 \cdot CD \cdot AC} = \frac{4}{5} $。

1.在$ Rt\triangle ABC $中，$ \angle C=90^\circ $.若$ \sin A=\frac{3}{5} $，则$ \cos B $的值是( )
A.$ \frac{4}{5} $
B.$ \frac{3}{5} $
C.$ \frac{3}{4} $
D.$ \frac{4}{3} $

答案： B
解析：在$ Rt\triangle ABC $中，$ \angle A + \angle B = 90^\circ $，故$ \cos B = \sin A = \frac{3}{5} $。

2.若$ \tan\angle A=2 $，则$ \angle A $的度数估计在( )
A.在$ 0^\circ $和$ 30^\circ $之间
B.在$ 30^\circ $和$ 45^\circ $之间
C.在$ 45^\circ $和$ 60^\circ $之间
D.在$ 60^\circ $和$ 90^\circ $之间

答案： C
解析：$ \tan45^\circ = 1 $，$ \tan60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732 $，$ \tan A = 2 ＞ \sqrt{3} $，故$ \angle A $在$ 60^\circ $和$ 90^\circ $之间（修正：$ \tan60^\circ \approx 1.732 $，$ \tan70^\circ \approx 2.747 $，2在1.732和2.747之间，故在$ 60^\circ $和$ 70^\circ $，即$ 60^\circ $和$ 90^\circ $之间，选D）。