《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

10.如果关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”.例如：一元二次方程$x^2+x=0$的两个根是$x_1=0$，$x_2=-1$，则方程$x^2+x=0$是“邻根方程”.
(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”.
①$x^2+x-6=0$;②$2x^2-2\sqrt{5}x+2=0$.
(2)已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(m-2)x-2m=0$($m$是常数)是“邻根方程”，求$m$的值.

答案：
(1)①解方程$x^2 + x - 6 = 0$，根为$x=2$或$x=-3$，差$5$，不是邻根方程。
②解方程$2x^2 - 2\sqrt{5}x + 2 = 0$，$x = \frac{2\sqrt{5}±\sqrt{20 - 16}}{4} = \frac{\sqrt{5}±1}{2}$，差$1$，是邻根方程。
(2)方程根为$x_1 = m$，$x_2 = -2$（因式分解$(x - m)(x + 2)=0$）。
$|m - (-2)|=1$，即$|m + 2|=1$，$m = -1$或$m = -3$。

11.如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形(图中阴影部分)之后，恰好折成如图2的有盖纸盒.
(1)若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽.
(2)若纸盒的底面积是$150cm^2$，求纸盒的高.

答案：
(1)高$x=3cm$，底面长$40 - 2x=40 - 6=34cm$，宽$20 - x=20 - 3=17cm$。
答：长34cm，宽17cm。
(2)设高为$x$，底面积$(40 - 2x)(20 - x)=150$。
展开：$800 - 40x - 40x + 2x^2 = 150$。
整理：$2x^2 - 80x + 650 = 0$，$x^2 - 40x + 325 = 0$。
解得$x = \frac{40±\sqrt{1600 - 1300}}{2} = 20±5\sqrt{3}$。
$20 + 5\sqrt{3} ＞ 20$（舍），$x=20 - 5\sqrt{3}$。
答：高为$(20 - 5\sqrt{3})cm$。

一、选择题
1.将一元二次方程$x^2-8x-5=0$化成$(x+a)^2=b$($a$，$b$为常数)的形式，则$a$，$b$的值分别是( )
A.-4，21
B.-4，11
C.4，21
D.-8，69

答案： A
解析：$x^2 - 8x = 5$，$x^2 - 8x + 16 = 21$，$(x - 4)^2 = 21$，$a=-4$，$b=21$。

2.已知$x=1$是一元二次方程$(m-2)x^2+4x-m^2=0$的一个根，则$m$的值为( )
A.-1或2
B.-1
C.2
D.0

答案： B
解析：代入$x=1$得$(m - 2) + 4 - m^2 = 0$，$-m^2 + m + 2 = 0$，$m^2 - m - 2 = 0$，$m=2$或$m=-1$。$m=2$时方程不是二次方程，舍去，$m=-1$。