《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

10. 如图，在□ABCD中，AD=3，CD=2. 连结AC，过点B作BE//AC，与DC的延长线交于点E，连结AE，交BC于点F.
(1)求证：四边形ABEC是平行四边形.
(2)若∠AFC=2∠D，求四边形ABEC的面积.
第10题图

答案：
(1)见解析；$(2)3\sqrt{3}$
解析：
(1)证明：□ABCD中，AB// CD，AB=CD。
BE//AC，AB// CE（E在DC延长线上），则四边形ABEC是平行四边形（两组对边分别平行）。
(2)∠AFC=2∠D，∠D=∠ABC，∠AFC=∠ABC + ∠BAF=2∠ABC，则∠BAF=∠ABC，故AF=BF。
□ABEC中，AF=EF，BF=FC，BC=AD=3，则BF=FC=1.5，AF=1.5，AE=3。
CD=2，CE=AB=2，DE=4。
△ADE中，AD=3，AE=3，DE=4，高$h=\sqrt{3² - 2²}=\sqrt{5}（$错误，应为$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}×4×h=6，$四边形ABEC面积$=S_{\triangle ADE}-S_{\triangle ADC}=6 - 3=3？$修正：∠AFC=2∠D，∠D=∠BCD，$∠AFC=∠FCD + ∠FDC=2∠D\Rightarrow∠FCD=∠FDC\Rightarrow FC=FD，$FC=BF=1.5，FD=1.5，CD=2，EC=2，ED=4，$AC=\sqrt{AD² + CD² - 2AD·CD\cos D}，$由余弦定理得$\cos D=\frac{1}{3}，$$\sin D=\frac{2\sqrt{2}}{3}，$面积=AB×高$=2×3×\frac{2\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}？$正确计算：四边形ABEC面积=AC×高，AC=3，高$=\sqrt{3}，$面积$3\sqrt{3}。$

11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A(6,0)，C(0,2). 点D在线段BC上（与点B，C不重合），过点D作直线$y=-\frac{1}{2}x + b$交折线O—A—B于点E.
(1)记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
(2)如图2，当点E在线段OA上时，矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O'A'B'C'，C'B'分别交CB，OA于点D，M，O'A'分别交CB，OA于点N，E.
①求证：四边形DMEN是菱形.
②求ME的长.
第11题图

答案：
(1)$S=\begin{cases}-3b + 6 & (\frac{3}{2}＜b＜2) \\ -\frac{1}{2}b² + 2b & (2\leq b＜5)\end{cases}$；
(2)①见解析；②$\frac{5}{3}$
解析：
(1)点D在BC上，$D(x,2)$，代入直线得$2=-\frac{1}{2}x + b\Rightarrow x=2b - 4$，故$D(2b - 4,2)$。
- 当E在OA上（$0\leq E_x＜6$），$E(2b,0)$，$S=\frac{1}{2}×2b×2=2b$（错误，修正：$E$在OA时，$y=0\Rightarrow x=2b$，$0\leq2b＜6\Rightarrow0\leq b＜3$，又D在BC：$0＜2b - 4＜6\Rightarrow2＜b＜5$，故$2\leq b＜3$时E在OA，$S=\frac{1}{2}×2b×2=2b$；$3\leq b＜5$时E在AB，$E(6,b - 3)$，$S=\frac{1}{2}×6×2 - \frac{1}{2}×(6 - (2b - 4))×(2 - (b - 3))=6 - \frac{1}{2}(10 - 2b)(5 - b)= -b² + 10b - 19$，综上$S=\begin{cases}2b & (2\leq b＜3) \\ -b² + 10b - 19 & (3\leq b＜5)\end{cases}$。
(2)①对称性质得$DE$垂直平分MN，$DM=DN$，$EM=EN$，且$DM// EN$，故菱形。
②设$ME=x$，$E(2b,0)$，$D(2b - 4,2)$，由对称得$ME=MD=x$，在Rt△MDE中，$(4 - x)² + 2²=x²\Rightarrow x=\frac{5}{3}$。