《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

6. 若$\frac{2(x+1)}{3(x+1)}=\frac{2}{3}$成立，则$x$的取值范围是_________.

答案： $x\neq-1$
解析：分式化简需分母不为0，即$x+1\neq0$，解得$x\neq-1$。

7. 若$a=-0.1$，则$a,\frac{1}{a},a^3$从小到大的顺序是_________（用“＜”表示）.

答案： $\frac{1}{a}＜a＜a^3$
解析：$a=-0.1$，$\frac{1}{a}=-10$，$a^3=(-0.1)^3=-0.001$。
因为$-10＜-0.1＜-0.001$，所以$\frac{1}{a}＜a＜a^3$。

8. $\frac{2}{x^2-4}÷\frac{1}{x^2-2x}$的计算结果为_________.

答案： $\frac{2x}{x+2}$
解析：原式$=\frac{2}{(x-2)(x+2)}÷\frac{1}{x(x-2)}=\frac{2}{(x-2)(x+2)}× x(x-2)=\frac{2x}{x+2}$。

9. 一组按规律排列的式子：$\frac{2}{a},-\frac{5}{a^2},\frac{10}{a^3},-\frac{17}{a^4},\frac{26}{a^5},\cdots$，其中第8个式子是_________.

答案： $-\frac{65}{a^8}$
解析：符号规律：$(-1)^{n+1}$；分子规律：$n^2+1$（$n=1$时$2=1^2+1$，$n=2$时$5=2^2+1$，…）；分母规律：$a^n$。
第8个式子：$(-1)^{8+1}\frac{8^2+1}{a^8}=-\frac{65}{a^8}$。

10. 如图，一个长、宽、高分别为$a,b,2r$的长方体纸盒装满了一层半径为$r$的小球，则纸盒的空间利用率（小球总体积与纸箱容积的比）为_________（结果保留$\pi$，球体积公式$V=\frac{4}{3}\pi r^3$）.

答案： $\frac{\pi}{6}$
解析：小球直径$2r$，长方向可放$\frac{a}{2r}$个，宽方向可放$\frac{b}{2r}$个，总球数$n=\frac{a}{2r}×\frac{b}{2r}$。
小球总体积$V_球=n×\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{ab}{4r^2}×\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{ab\pi r}{3}$。
纸箱容积$V_箱=a× b×2r=2abr$。
利用率$=\frac{V_球}{V_箱}=\frac{\frac{ab\pi r}{3}}{2abr}=\frac{\pi}{6}$。

11. 已知三个整式$x^2+4x,4x+4,x^2$，其中$x\neq0$.
(1)从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解.
(2)从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分.

答案：
(1) $x^2+4x+4=(x+2)^2$；
(2) $\frac{x^2}{x^2+4x}=\frac{x}{x+4}$
解析：
(1) 选$4x+4$和$x^2$相加：$x^2+4x+4=(x+2)^2$，可因式分解。
(2) 选$x^2$为分子，$x^2+4x$为分母：$\frac{x^2}{x^2+4x}=\frac{x^2}{x(x+4)}=\frac{x}{x+4}$（不是最简分式，约分后得$\frac{x}{x+4}$）。

12. 以下是圆圆同学进行分式化简的过程.
$\frac{a+b}{ab}÷(\frac{1}{b}-\frac{1}{a})=\frac{a+b}{ab}×(b - a)=\frac{a+b}{ab}\cdot b-\frac{a+b}{ab}\cdot a=\frac{a+b}{a}-\frac{a+b}{b}=\frac{b^2+a^2}{ab}$.
圆圆的解答过程是否有错误？若存在错误，请写出正确的解答过程.

答案： 有错误，正确过程见解析
解析：错误在于$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{a - b}{ab}$，而非$b - a$。
正确过程：
原式$=\frac{a+b}{ab}÷(\frac{a - b}{ab})=\frac{a+b}{ab}×\frac{ab}{a - b}=\frac{a+b}{a - b}$。