《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以BC为边向外作正方形BCDE，连结AE，AD分别交BC于点F，G，若BF∶CG=3∶4，则tan∠ACB= ．

答案： 设∠ACB=θ，BC=a，AC=b=acosθ，AB=c=asinθ。以A为原点，AB、AC为轴建立坐标系，B(c,0)，C(0,b)，正方形BCDE在BC下方，E(c,-a)，D(-b,-a)。
AE方程：过A(0,0)、E(c,-a)，斜率为-a/c，方程y=(-a/c)x。
BC方程：过B(c,0)、C(0,b)，方程x/c + y/b = 1。
联立得F点横坐标：BF = c²/(a + c)。
AD方程：过A(0,0)、D(-b,-a)，斜率为a/b，方程y=(a/b)x。
联立BC方程得G点横坐标：CG = b²/(a + b)。
由BF∶CG=3∶4，得(c²/(a + c))∶(b²/(a + b))=3∶4，结合a²=b²+c²，解得tanθ=√3/2。
√3/2

9.如图，“赵爽弦图”由8个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S₁，S₂，S₃，已知S₁+S₂+S₃=10，则S₂的值是 ．

答案： 设直角三角形勾m、股n，S₁=(m+n)²，S₃=(n-m)²，S₂=m²+n²。
S₁+S₂+S₃=(m+n)²+(m²+n²)+(n-m)²=3(m²+n²)=3S₂=10，故S₂=10/3。
10/3

10.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S₁，S₂（S₁＞S₂），则下列四个判断：①S₁+S₂=1/4S四边形MNPQ；②DG=2AF；③若∠EMH=30°，则S₁=3S₂；④若点A是线段GF的中点，则3S₁=4S₂，其中正确的序号是 ．

答案： ②③④