《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

8. 如图，以点O为旋转中心，将线段AB按顺时针方向旋转$\alpha$得到线段$A'B'$，连结$AA'$，$BB'$.
(1)比较$\angle OAA'$与$\angle OBB'$的大小，并说明理由.
(2)当$\alpha=45^\circ$时，若$OA=3$，$OB=4$，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并解答.

答案：
(1)$\angle OAA'=\angle OBB'$；
(2)见解析
解析：
(1)
∵OA=OA'，OB=OB'，
∴△OAA'和△OBB'为等腰三角形. $\angle OAA'=\frac{180^\circ-\alpha}{2}$，$\angle OBB'=\frac{180^\circ-\alpha}{2}$，故$\angle OAA'=\angle OBB'$.
(2)计算题：求线段$AA'$的长.
解答：在△OAA'中，OA=OA'=3，$\alpha=45^\circ$，由余弦定理得$AA'^2=3^2+3^2-2×3×3×\cos45^\circ=18-9\sqrt{2}$，$AA'=\sqrt{18-9\sqrt{2}}=3\sqrt{2-\sqrt{2}}$.

9. 在四边形ABCD中，$\angle B+\angle D=180^\circ$，对角线AC平分$\angle BAD$.
(1)如图1，若$\angle DAB=120^\circ$，且$\angle B=90^\circ$，试探究边AD，AB与对角线AC的数量关系并说明理由.
(2)如图2，若将(1)中的条件“$\angle B=90^\circ$”去掉，(1)中的结论是否成立？请说明理由.
(3)如图3，若$\angle DAB=90^\circ$，探究边AD，AB与对角线AC的数量关系并说明理由.

答案：
(1)$AB+AD=AC$；
(2)成立；
(3)$AB+AD=\sqrt{2}AC$
解析：
(1)$\angle BAC=\angle CAD=60^\circ$，在Rt△ABC中，$AB=AC\cos60^\circ=\frac{AC}{2}$；在Rt△ADC中，$AD=AC\cos60^\circ=\frac{AC}{2}$，故$AB+AD=AC$.
(2)过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，AC平分$\angle BAD$得CE=CF. $\angle B+\angle D=180^\circ$，$\angle CDF=\angle B$，△CBE≌△CDF（AAS），BE=DF. $AB+AD=AE+BE+AF-DF=AE+AF=AC\cos60^\circ+AC\cos60^\circ=AC$.
(3)$\angle BAC=\angle CAD=45^\circ$，作CE⊥AB，CF⊥AD，AE=AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}AC$，$AB+AD=AE+AF=\sqrt{2}AC$.