《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

3.如图是二次函数$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$的图象，对称轴是直线$x=1$，下列结论错误的是( )
A. $b^2＞4ac$
B. $9a+3b+c＞0$
C. $3abc＜0$
D. $3a+c＜0$

答案： B
解析：A. 有两个交点，正确；B. $x=3$与$x=-1$对称，$x=-1$时$y＜0$，则$9a+3b+c＜0$，错误；C. $a＜0$，$b＞0$，$c＞0$，$3abc＜0$，正确；D. $x=-1$时$3a+c＜0$，正确．

4.已知二次函数$y=x^2-4x+3$的图象经过点P，点P的横坐标为m，当$m\leq x\leq4$时，总有$-1\leq y\leq4m$，则m的值为( )
A. $4+\sqrt{13}$
B. $4-\sqrt{13}$
C. $4\pm\sqrt{13}$
D. $\frac{3}{4}$

答案： B
解析：$y=(x-2)^2-1$，当$m\leq x\leq4$时，$y_{max}\leq4m$．解得$m=4-\sqrt{13}$．

5.写出一个图象经过点(1,-1)的二次函数关系式______．

答案： $y=x^2-2x$（答案不唯一）
解析：设$y=x^2+bx+c$，代入(1,-1)得$-1=1+b+c$，取$b=-2$，$c=0$，则$y=x^2-2x$．

6.函数$y=ax^2-8ax(a$为常数，且$a＞0)$在自变量x的值满足$2\leq x\leq3$时，其对应的函数值y的最大值为-3，则a的值为______．

答案： $\frac{1}{4}$
解析：$y=a(x-4)^2-16a$，对称轴$x=4$，$2\leq x\leq3$时y随x增大而减小，$x=2$时$y=-12a=-3$，$a=\frac{1}{4}$．

7.如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线$y=\frac{4}{9}x^2+5$的一部分，则杯口的口径AC为______．

答案： 9
解析：$y=14$时，$\frac{4}{9}x^2+5=14$，$x^2=\frac{81}{4}$，$x=\pm\frac{9}{2}$，$AC=9$．

8.(1)写出点M(2,3)的任意两条特征线：______．
(2)如图，在正方形OABC中，点B在第一象限，点A，点C分别在x轴和y轴上，抛物线$y=\frac{1}{4}(x-a)^2+b$经过B，C两点，顶点D在该正方形内部．若点D有一条特征线是$y=x+1$，则该抛物线的函数表达式为______．

答案：
(1)$x=2$，$y=3$（答案不唯一）
解析：特征线包括平行坐标轴或角平分线，如$x=2$，$y=3$，$y=x+1$等．
(2)$y=\frac{1}{4}(x-2)^2+3$
解析：顶点$D(a,b)$，$b=a+1$，正方形边长$2a$，$b=2a-\frac{a^2}{4}$，解得$a=2$，$b=3$，表达式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^2+3$．

8. 定义：在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”。如点$ M(1,3) $的特征线有：$ x=1,y=3,y=x+2,y=-x+4 $。
(1) 写出点$ M(2,3) $的任意两条特征线：________。
(2) 如图，在正方形$ OABC $中，点$ B $在第一象限，点$ A $，点$ C $分别在$ x $轴和$ y $轴上，抛物线$ y=\frac{1}{4}(x-a)^{2}+b $经过$ B,C $两点，顶点$ D $在该正方形内部。若点$ D $有一条特征线是$ y=x+1 $，则该抛物线的函数表达式为________。

答案：
(1) $ x=2,y=3 $（答案不唯一）
(2) $ y=\frac{1}{4}(x-2)^{2}+3 $
解析：
(1) 平行坐标轴：$ x=2,y=3 $；角平分线：$ y=x+1,y=-x+5 $。
(2) 设正方形边长$ t $，则$ A(t,0),C(0,t),B(t,t) $。抛物线过$ C(0,t) $得$ t=\frac{1}{4}a^{2}+b $，过$ B(t,t) $得$ t=\frac{1}{4}(t-a)^{2}+b $，联立得$ t=2a $，$ b=2a-\frac{a^{2}}{4} $。顶点$ D(a,b) $在$ y=x+1 $上，即$ b=a+1 $，解得$ a=2,b=3 $，表达式为$ y=\frac{1}{4}(x-2)^{2}+3 $。