《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

8. 科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别种在不同温度的环境中，经过一段时间后，测出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表所示.
| 温度$ t/^{\circ}C $ | … | -5 | -3 | 2 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 植物高度增长量$ h/mm $ | … | 34 | 46 | 41 | … |
科学家推测$ h(mm) $与$ t(^{\circ}C) $之间的关系可以近似地用二次函数来刻画.已知温度越适合，植物高度增长量越大，由此推测最适合这种植物生长的温度为________。

答案： $ 1^{\circ}C $
解析：设$ h=at^{2}+bt+c $，代入$ (-5,34),(-3,46),(2,41) $，解得$ a=-1,b=2,c=29 $，对称轴$ t=-\frac{b}{2a}=1 $。

9. 已知二次函数$ y=ax^{2}-2(b-1)x+1(a\neq 0) $，当$ -2\leq x\leq -1 $时，$ y $随$ x $的增大而增大，则当$ a＞0 $时，$ ab $的最大值为________。

答案： $ \frac{1}{8} $
解析：对称轴$ x=\frac{b-1}{a}\leq -2 $，即$ b\leq 1-2a $，$ ab\leq a(1-2a)=-2a^{2}+a $，最大值在$ a=\frac{1}{4} $时，$ ab=\frac{1}{8} $。

10. 如图1，在矩形$ ABCD $中，$ \frac{AC}{AB}=k $（$ k $为常数），动点$ P $从点$ B $出发，以每秒1个单位长度的速度沿$ B\rightarrow A\rightarrow C $运动到点$ C $，同时动点$ Q $从点$ A $出发，以每秒$ k $个单位长度的速度沿$ A\rightarrow C\rightarrow D $运动到点$ D $，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止.设$ \triangle APQ $的面积为$ y $，运动时间为$ t s $，$ y $与$ t $的函数关系图象如图2所示，当$ y=\frac{2}{3} $时，$ t $的值是________。

答案： $ \frac{1}{3} $或$ 3-\frac{\sqrt{3}}{3} $
解析：由图象得$ k=2 $，矩形边长$ AB=2,BC=2\sqrt{3} $。分阶段列函数式，解得$ t=\frac{1}{3} $或$ 3-\frac{\sqrt{3}}{3} $。

11. 已知抛物线$ y=ax^{2}+6x+5a $经过点$ (2,3) $。
(1) 求抛物线的表达式。
(2) 直线$ l $与抛物线相交于点$ A(n,y_{1}),B(n+3,y_{2}) $，若点$ P $在抛物线上，且在直线$ l $上方（包含点$ A,B $），点$ P $纵坐标的最大值为3，求$ n $的值。

答案：
(1) $ y=-x^{2}+6x-5 $
(2) $ n=3\pm \frac{\sqrt{3}}{2} $
解析：
(1) 代入$ (2,3) $得$ 3=4a+12+5a $，$ a=-1 $，表达式为$ y=-x^{2}+6x-5 $。
(2) 直线$ l $斜率$ 3-2n $，方程$ y=(3-2n)x+n^{2}-5 $。联立抛物线得$ -x^{2}+6x-5=(3-2n)x+n^{2}-5 $，化简得$ x^{2}-(3+2n)x+n^{2}=0 $。顶点纵坐标最大值3，解得$ n=3\pm \frac{\sqrt{3}}{2} $。