《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

14. 如图，抛物线$ y=-x^{2}+bx+c $与$ x $轴分别交于点$ A(-1,0) $，$ B(3,0) $。
(1)求抛物线的函数表达式和对称轴。
(2)$ P $为$ y $轴上的一点。若点$ P $向左平移$ n $个单位，将与抛物线上的点$ P_{1} $重合；若点$ P $向右平移$ 2n $个单位，将与抛物线上的点$ P_{2} $重合。已知$ n＞0 $。
①求$ n $的值。
②若点$ C $在抛物线上，且在直线$ P_{1}P_{2} $的上方（不与点$ P_{1},P_{2} $重合），求点$ C $纵坐标的取值范围。

答案：
(1)设抛物线表达式为$ y=-(x+1)(x-3) $，展开得$ y=-x^{2}+2x+3 $。对称轴为直线$ x=\frac{-1+3}{2}=1 $。
(2)①设$ P(0,p) $，则$ P_{1}(-n,p) $，$ P_{2}(2n,p) $。
∵$ P_{1},P_{2} $在抛物线上，
∴$ p=-(-n)^{2}+2(-n)+3=-n^{2}-2n+3 $，
$ p=-(2n)^{2}+2(2n)+3=-4n^{2}+4n+3 $。
∴$ -n^{2}-2n+3=-4n^{2}+4n+3 $，
化简得$ 3n^{2}-6n=0 $，$ n(n-2)=0 $，
∵$ n＞0 $，
∴$ n=2 $。
②由①知$ n=2 $，$ P_{1}(-2,p) $，代入抛物线得$ p=-(-2)^{2}+2(-2)+3=-5 $，
∴$ P_{1}(-2,-5) $，$ P_{2}(4,-5) $，直线$ P_{1}P_{2} $为$ y=-5 $。
抛物线顶点为$ (1,4) $，开口向下，
∴点$ C $纵坐标范围是$ -5＜y\leq4 $。