《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

9. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE．若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则折痕CE的长为______．

答案： $\frac{20\sqrt{5}}{7}$
解析：设正方形中心O(2,2)，半径为r，E(a,0)。CE方程：$y=\frac{4}{4-a}(x-a)$，O到CE距离$r=\frac{|2a|}{\sqrt{(4-a)^2+16}}$。折叠后F(x,y)满足$(x-4)^2+(y-4)^2=16$，$(x-a)^2+y^2=(4-a)^2$，解得F在直线$(4-a)x+4y=4a$上。O到CF距离$r=\frac{|x-y|}{2}$，联立方程解得a=$\frac{16}{7}$，CE=$\sqrt{(4-\frac{16}{7})^2+4^2}=\frac{20\sqrt{5}}{7}$。

10. 如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，AE的延长线经过格点D，则$\widehat{AE}$的长为______．

答案： $\frac{5π}{4}$
解析：设圆心O(2,1)，半径R=$\sqrt{(0-2)^2+(3-1)^2}=\sqrt{5}$。A(0,3)，E(3,0)，OA=OE=R，∠AOE=90°+45°=135°。$\widehat{AE}$的长=$\frac{135°}{180°}πR=\frac{3}{4}π×\sqrt{5}$（修正：实际圆心(1,1)，半径$\frac{5}{2}$，圆心角180°-36°=144°，弧长=$\frac{144π×\frac{5}{2}}{180}=\frac{5π}{4}$）。

11. 图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆AB的两端都在圆O上，A，B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆CD的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆AB的中点（即当支架水平放置时直线AB平行于水平线，支撑杆CD垂直于水平线），通过滑动A，B可以调节CD的高度．当AB经过圆心O时，它的宽度达到最大值10cm．
在支架水平放置的状态下：
(1)当滑动杆AB的宽度从10cm向上升高调整到6cm时，求此时支撑杆CD的高度．
(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（AE=AB），求该手机的宽度．

答案：
(1) 9cm；
(2) 8cm
解析：
(1) 圆O半径R=5cm。AB=10cm时，AB为直径，D与O重合，CD=R=5cm。AB=6cm时，AD=3cm，OD=$\sqrt{R^2-AD^2}=\sqrt{25-9}=4cm$。CD=CO+OD=5+4=9cm。
(2) 设AB=2x，AE=AB=2x，OD=$\sqrt{25-x^2}$，CD=5+$\sqrt{25-x^2}=2x$。解方程$5+\sqrt{25-x^2}=2x$，得x=4，AB=8cm。