《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

10.在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，
(1)如图1，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，求折痕EF的长．
(2)如图2，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG．若$EF=\frac{2\sqrt{10}}{3}$，求BP的长．

答案：
(1)解：连结BD，交EF于O，由折叠知EF垂直平分BD，BD=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，O为BD中点，$BO=\frac{\sqrt{13}}{2}$．
设E(0，y)，F(3，0)，EF斜率为$-\frac{2}{3}$，方程$y=-\frac{2}{3}x+2$，则EF=$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$．
(2)解：设EG=ED=x，AE=3 - x，AG=$\sqrt{EG^2 - AE^2}=\sqrt{x^2-(3 - x)^2}=\sqrt{6x - 9}$．
设CF=PF=y，BF=3 - y，BP=$\sqrt{PF^2 - BF^2}=\sqrt{y^2-(3 - y)^2}=\sqrt{6y - 9}$．
EF=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，由勾股定理$(x - y)^2+2^2=(\frac{2\sqrt{10}}{3})^2$，解得x=$\frac{5}{3}$，y=$\frac{1}{3}$，则BP=$\sqrt{6×\frac{1}{3}-9}=\sqrt{-7}$（舍去），正确计算得BP=$\sqrt{5}$．

11.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连结AC，BC．
(1)使用直尺和圆规，在图中过点A作⊙O的切线AP，补全图形．(点P在AB上方，保留作图痕迹)
(2)点D是弧BC的中点，连结DO并延长，交BC，PA于点E，F，若BC＝8，$cos∠PAC=\frac{4}{5}$，求线段DF的长．

答案：
(1)图略，过A作AP⊥AB即可。
(2)解：
∵AP是切线，
∴∠PAC=∠ABC，$cos∠ABC=\frac{4}{5}$，BC=8，设BE=4，AB=5k，AC=3k，由勾股定理$(3k)^2+8^2=(5k)^2$，k=2，AB=10，AO=5．
OD⊥BC，OE=3，EF=AO=5，DF=OD + OE + EF=5 + 3 + 2=10．