《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

9. 在平面直角坐标系中，抛物线$ C_{1}:y=x^{2}+bx+c $，$ C_{1} $的顶点为$ D $，与$ x $轴交于$ A,B $两点（点$ A $在点$ B $的右侧），与$ y $轴交于点$ C $。点$ B $的坐标为$ (-5,0) $，将直线$ y=kx $沿$ y $轴向上平移5个单位长度后，恰好经过$ B,C $两点。
(1) 求$ k $的值和点$ C $的坐标。
(2) 已知点$ E $是点$ D $关于原点的对称点，若抛物线$ C_{2}:y=ax^{2}-2(a\neq 0) $与线段$ AE $恰好有一个公共点，结合函数的图象，求$ a $的取值范围。

答案：
(1) $ k=1 $，$ C(0,5) $
(2) $ \frac{2}{3}\leq a\leq 2 $
解析：
(1) 平移后直线$ y=kx+5 $过$ B(-5,0) $，得$ 0=-5k+5 $，$ k=1 $，故$ C(0,5) $。
(2) 抛物线$ C_{1}:y=x^{2}+6x+5=(x+3)^{2}-4 $，顶点$ D(-3,-4) $，$ E(3,4) $，$ A(-1,0) $。线段$ AE:y=x+1 $。联立$ ax^{2}-2=x+1 $，即$ ax^{2}-x-3=0 $。
当$ a＞0 $时，由$ f(-1)\cdot f(3)\leq 0 $得$ (a-2)(9a-6)\leq 0 $，解得$ \frac{2}{3}\leq a\leq 2 $；$ a＜0 $时无交点。综上$ \frac{2}{3}\leq a\leq 2 $。

10. 【情境】小明与小强做抛球游戏，如图1，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起落地后又弹起，两次乒乓球运行路线都是形状相同的抛物线。小强在地面立一块高度为$ 0.4m $的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜。
【问题】小强将木板放在距斜坡底端$ O $多远，才能确保获胜？
【分析】以斜坡底端$ O $为坐标原点，地面水平线为$ x $轴，取单位长度为$ 1m $，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，测量发现，落球点$ A $的坐标为$ (-1,3.36) $，第一次弹起的运行路线最高点坐标为$ (-0.5,3.61) $，第二次弹起的最大高度为$ 1.21m $。
【解决问题】
(1) 求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线函数表达式。
(2) 求乒乓球第一次落地点$ B $距斜坡底端$ O $的距离。

答案：
(1) $ y=-(x+0.5)^{2}+3.61 $
(2) $ 1.4m $
解析：
(1) 设$ y=a(x+0.5)^{2}+3.61 $，代入$ A(-1,3.36) $得$ 3.36=a(0.5)^{2}+3.61 $，解得$ a=-1 $，表达式为$ y=-(x+0.5)^{2}+3.61 $。
(2) 令$ y=0 $，$ 0=-(x+0.5)^{2}+3.61 $，解得$ x=1.4 $（正值），故距离为$ 1.4m $。