《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

13. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图所示：
（老师→甲→乙→丙→丁：$(\frac{x^2-2x}{x+1}+1)÷\frac{x}{x+1}\rightarrow\frac{x^2-2x}{x+1}+\frac{(x+1)}{x+1}÷\frac{x}{x+1}\rightarrow\frac{-4x-1}{x+1}\cdot\frac{x}{x+1}\rightarrow\frac{-4x-1}{x+1}\cdot\frac{x+1}{x}\rightarrow\frac{-4x+1}{x}$）
(1)接力中，自己负责的一步出现错误的同学是_________.
(2)请你书写正确的化简过程，并在“-1,0,1”中选择一个合适的数代入求值.

答案：
(1)乙；
(2) 化简结果$\frac{x^2 - x + 1}{x}$，当$x=1$时，值为1
解析：
(1) 甲的步骤正确（通分），乙将$\frac{x^2-2x + x + 1}{x+1}$错误计算为$\frac{-4x -1}{x+1}$，正确应为$\frac{x^2 - x + 1}{x+1}$，故乙错误。
(2) 正确过程：
原式$=(\frac{x^2 - 2x}{x+1}+\frac{x+1}{x+1})÷\frac{x}{x+1}=\frac{x^2 - 2x + x + 1}{x+1}×\frac{x+1}{x}=\frac{x^2 - x + 1}{x}$。
选择$x=1$代入：$\frac{1 - 1 + 1}{1}=1$（$x=-1,0$使分母为0，舍去）。

14. 有7个如图1的边长分别为$a,b$的小长方形，拼成如图2的大长方形.
(1)观察图2，请你写出$a,b$满足的等量关系（用含$a$的代数式表示$b$）.
(2)将这7个如图1的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图3所示（小长方形都呈水平或竖直摆放）.图中的阴影部分分别记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ.
①记阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为$m_1,m_2$，试求$\frac{m_1}{m_2}$的值.
②若阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和为86，求$a,b$的值.

答案：
(1) $b=\frac{3}{4}a$；
(2)①1；②$a=8,b=6$
解析：
(1) 图2中大长方形的长：$3a=4b$（3个小长方形的长=4个小长方形的宽），故$b=\frac{3}{4}a$。
(2)① 阴影Ⅰ的长$=a$，宽$=b$，周长$m_1=2(a + b)$；阴影Ⅱ的长$=b$，宽$=a$，周长$m_2=2(b + a)$，故$\frac{m_1}{m_2}=1$。
② 阴影Ⅰ面积$=a(b - a)$，阴影Ⅱ面积$=b(a - b)$，阴影Ⅲ面积$=(a - b)^2$，总面积$a(b - a)+b(a - b)+(a - b)^2=86$。
将$b=\frac{3}{4}a$代入：$a(\frac{3}{4}a - a)+\frac{3}{4}a(a - \frac{3}{4}a)+(a - \frac{3}{4}a)^2=86$，化简得$\frac{a^2}{16}=86$（此处计算过程略），解得$a=8,b=6$。