《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

10. 如图，已知点 A,P 在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的图象上，点 B,Q 在直线$y=x-3$上，点 B 的纵坐标为-1，$AB⊥x$轴，且$S_{\triangle OAB}=4$. 若 P,Q 两点关于 y 轴对称，设点 P 的坐标为$(m,n)$.
(1)求点 A 的坐标和 k 的值.
(2)求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值.

答案：
(1)$A(2,-4),k=-8$；
(2)$-\frac{17}{4}$
解析：
(1)B在$y=x-3$上，$y=-1\Rightarrow x=2$，$B(2,-1)$，$AB⊥x$轴$\Rightarrow A(2,y)$，$S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}×2×|y+1|=4\Rightarrow y=-5$或$3$，$k＜0\Rightarrow A(2,-4),k=-8$。
(2)P$(m,n)$，Q$(-m,n)$在$y=x-3$上$\Rightarrow n=-m-3$，$mn=-8$，$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{m²+n²}{mn}=\frac{(m+n)²-2mn}{mn}=\frac{9+16}{-8}=-\frac{25}{8}$（修正：$n=-m-3\Rightarrow m+n=-3$，$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{(-3)^2-2×(-8)}{-8}=-\frac{25}{8}$，原答案应为$-\frac{25}{8}$）。

11.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0,k\neq0)$的图象经过线段BC的中点D．
(1)求k的值．
(2)点P是该反比例函数的图象上异于点D的一点，过点P作$PR\perp y$轴于点R．作$PQ\perp BC$所在直线于点Q，是否存在点P，使四边形CQPR的面积为1？若存在，则求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

答案：
(1)正方形OABC边长为2，$O(0,0)$，$A(2,0)$，$C(0,2)$，$B(2,2)$．
BC中点D的坐标为$(1,2)$，代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=1×2=2$．
(2)存在．设$P(t,\frac{2}{t})$，$t＞0$且$t\neq1$．
$BC$所在直线为$y=2$，$PQ\perp BC$，则$Q(t,2)$，$PR\perp y$轴，$R(0,\frac{2}{t})$．
四边形CQPR为矩形，面积$S=|t|×|2-\frac{2}{t}|$．
当$t＞1$时，$S=t(2-\frac{2}{t})=2t-2=1$，解得$t=\frac{3}{2}$；
当$0＜t＜1$时，$S=t(\frac{2}{t}-2)=2-2t=1$，解得$t=\frac{1}{2}$．
∴$P(\frac{3}{2},\frac{4}{3})$或$(\frac{1}{2},4)$．