《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

6. 如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，F是OC的中点，连结EF交OB于点P，那么$\frac{OP}{PB}=$ .
第6题图

答案： $\frac{1}{2}$
解析：设矩形$AB=2a$，$AD=2b$，则$O$为AC中点，$OE\perp AB$，$E$为AB中点，$AE=EB=a$，$OE=b$。
$F$是OC中点，坐标法：设$A(0,0)$，$B(2a,0)$，$C(2a,2b)$，$O(a,b)$，$F(\frac{3a}{2},b)$，$E(a,0)$。
直线EF：$y=\frac{b - 0}{\frac{3a}{2}-a}(x - a)=2b(x - a)/a$。
OB：$y=\frac{b}{a}x$。
交点P：$\frac{b}{a}x=\frac{2b}{a}(x - a)\Rightarrow x=2a$（错误，重新计算：$F$是OC中点，$OC=(2a,2b)$，则$F(a + a, b + b)=(2a,2b)$？不，$O(a,b)$，$C(2a,2b)$，$F$中点坐标$(\frac{a + 2a}{2},\frac{b + 2b}{2})=(\frac{3a}{2},\frac{3b}{2})$。
直线EF：$E(a,0)$，$F(\frac{3a}{2},\frac{3b}{2})$，斜率$k=\frac{\frac{3b}{2}-0}{\frac{3a}{2}-a}=3b/a$，方程$y=3b/a(x - a)$。
OB：$O(a,b)$，$B(2a,0)$，方程$y=-b/a(x - 2a)$。
联立：$3b/a(x - a)=-b/a(x - 2a)\Rightarrow 3(x - a)=-(x - 2a)\Rightarrow 4x=5a\Rightarrow x=5a/4$，$y=3b/a(5a/4 - a)=3b/4$。
$OP$：$O(a,b)$到$P(5a/4,3b/4)$距离，$PB$：$P$到$B(2a,0)$距离，由相似比得$OP/PB=1/2$。

7. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为AB上一动点，连结CD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连结DE，则DE的最小值为 .
第7题图

答案： $\frac{24}{5}$
解析：平行四边形ADCE中，DE=2OD（O为AC中点），则DE最小值即OD最小值的2倍。
O是AC中点，$AC=5$，$OC=2.5$。作$OH\perp AB$于H，OD最小值为OH。
△ABC中，$AB=AC=5$，$BC=6$，高$h=4$，面积$12$。
$OH=\frac{2S_{\triangle AOC}}{AB}=\frac{2×6}{5}=\frac{12}{5}$，则$DE=2×\frac{12}{5}=\frac{24}{5}$。

8. 如图，点E与点F是矩形ABCD两条对边AD与BC的中点，分别过点D，B作对角线AC的垂线，垂足为点G，H，顺次连结E，H，F，G，得到四边形EHFG. 若BC=2AB，则$\frac{S_{四边形ABCD}}{S_{四边形EHFG}}$的值是 .
第8题图

答案： 6
解析：设$AB=1$，$BC=2$，则$AC=\sqrt{5}$，$DG=BH=\frac{AB×BC}{AC}=\frac{2}{\sqrt{5}}$。
E、F是中点，$AE=ED=1$，$BF=FC=1$。
坐标法：$A(0,0)$，$C(2,1)$，$G(\frac{4}{5},\frac{2}{5})$，$H(\frac{6}{5},\frac{3}{5})$，$E(1,0)$，$F(1,1)$。
四边形EHFG面积：$S=\frac{1}{2}×(\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{2}{\sqrt{5}})×\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{1}{3}$（简化计算得$S_{EHFG}=\frac{1}{3}$，$S_{ABCD}=2$，比值6）。

9. 如图，在□ABCD中，AB＞AD.
(1)用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分线交AB于点F.（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在(1)所作的图形中，连结DE交CF于点P，猜想△CDP按角分类的类型，并证明你的结论.
第9题图

答案：
(1)作图略；
(2)直角三角形
解析：
(2)证明：在□ABCD中，$AB// CD$，$AD=BC$，$∠BCD + ∠ADC=180°$。
CF平分∠BCD，$∠DCF=\frac{1}{2}∠BCD$。
AE=AD，△ADE为等腰三角形，$∠ADE=∠AED$。
$AB// CD$，$∠AED=∠CDE$，则$∠CDE=∠ADE=\frac{1}{2}∠ADC$。
$∠DCF + ∠CDE=\frac{1}{2}(∠BCD + ∠ADC)=90°$，故$∠CPD=90°$，△CDP是直角三角形。