《2025年中考复习指导浙江科学技术出版社数学》

10. 如图，已知在Rt△ABC与Rt△ECD中，∠ACB＝∠ECD＝90°，CD为Rt△ABC斜边上的中线，且ED//BC．
(1)求证：△ABC∽△EDC．
(2)若CE＝3，CD＝4，求CB的长．

答案：
(1)证明：
∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴$CD=\frac{1}{2}AB=AD=BD$，∠B=∠DCB。
∵ED//BC，
∴∠EDC=∠DCB=∠B。又∠ACB=∠ECD=90°，
∴△ABC∽△EDC。
(2)$\frac{32}{5}$
解析：
(2)由
(1)得$\frac{AC}{CE}=\frac{BC}{CD}$，设$AC=3k$，则$BC=4k$（$\frac{AC}{3}=\frac{BC}{4}$）。
∵AB=2CD=8（斜边上中线性质），在Rt△ABC中，$AC^2+BC^2=AB^2$，即$(3k)^2+(4k)^2=8^2$，解得$k=\frac{8}{5}$，
∴$CB=4k=\frac{32}{5}$。

11. 如图1，将一三角尺的直角顶点P放在直角三角尺ABC的斜边上，已知∠A＝30°．
(1)点P是AC上任意一点，点M，N分别在线段AB，BC上时，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，试证明△PME∽△PNF．
(2)在条件(1)下，当点P为AC的中点时，直接写出$\frac{PN}{PM}$的值．
(3)当$\frac{PC}{PA}＝\sqrt{2}$，点M，N分别在线段AB，BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出$\frac{PN}{PM}$的值，并选其一说明理由．

答案：
(1)证明：∠A=30°，∠C=60°，PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠PEA=∠PFC=90°，∠EPF=120°。
∵∠MPN=90°，
∴∠MPE=∠NPF=30°（等式性质）。又∠PEM=∠PFN=90°，
∴△PME∽△PNF。
(2)$\sqrt{3}$
(3)$\sqrt{6}$
解析：
(3)设$PA=k$，$PC=\sqrt{2}k$，则$AC=k+\sqrt{2}k$。
$PE=PA\cdot\sin30°=\frac{k}{2}$，$PF=PC\cdot\sin60°=\frac{\sqrt{6}k}{2}$。
由△PME∽△PNF，$\frac{PN}{PM}=\frac{PF}{PE}=\frac{\frac{\sqrt{6}k}{2}}{\frac{k}{2}}=\sqrt{6}$。