《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例4】
(八省联考·四川·2)我国某研究团队提出以磁悬浮旋转抛射为核心的航天器发射新技术。已知地球和月球质量之比约为 $ 81 : 1 $，半径之比约为 $ 4 : 1 $。若在地球表面抛射绕地航天器，在月球表面抛射绕月航天器，所需最小抛射速度的比值约为(C)

A.20
B.6
C.4.5
D.1.9

答案： 例4 C [要抛射航天器，所需要的最小速度为中心天体的第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{R^{2}} = m\frac{v^{2}}{R}$可得中心天体的第一宇宙速度$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$
地球和月球质量之比约为81:1，半径之比约为4:1，则地球和月球的第一宇宙速度之比为$\frac{v_{地}}{v_{月}} = \sqrt{\frac{M_{地}R_{月}}{M_{月}R_{地}}} = \sqrt{\frac{81}{2}×\frac{1}{4}} = \frac{9}{2} = 4.5$，即所需最小抛射速度的比值约为4.5，故选C。]

【例5】
(2023·湖北卷·2)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为 $ 3 : 2 $，如图所示。根据以上信息可以得出(B)


A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为 $ 27 : 8 $
B.当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为 $ 9 : 4 $
D.下一次“火星冲日”出现在2023年12月8日之前

答案： 例5 B [火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3:2，根据开普勒第三定律有$\frac{r_{火}^{3}}{r_{地}^{3}} = \frac{T_{火}^{2}}{T_{地}^{2}}$，可得$\frac{T_{火}}{T_{地}} = \sqrt{\frac{r_{火}^{3}}{r_{地}^{3}}} = \sqrt{\frac{3^{3}}{2^{3}}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$，故A错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，故B正确；在星球表面根据万有引力定律有$G\frac{Mm}{R^{2}} = mg$，由于不知道火星和地球的质量比以及火星和地球的半径比，故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度大小之比，故C错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有$\omega_{火} = \frac{2\pi}{T_{火}}$，$\omega_{地} = \frac{2\pi}{T_{地}}$，要发生下一次“火星冲日”，则有$(\frac{2\pi}{T_{地}} - \frac{2\pi}{T_{火}})t = 2\pi$，得$t = \frac{T_{火}T_{地}}{T_{火} - T_{地}} ＞ T_{地}$，可知下一次“火星冲日”出现在2023年12月8日之后，故D错误。]

【例6】
地球的两颗卫星绕地球在同一平面内做匀速圆周运动，环绕方向如图所示。已知卫星一运行的周期为 $ T_{0} $，地球的半径为 $ R_{0} $，卫星一和卫星二到地球中心的距离分别为 $ R_{1} = 2R_{0} $，$ R_{2} = 8R_{0} $，引力常量为 $ G $，某时刻两卫星与地心连线之间的夹角为 $ \frac{2}{3}\pi $，下列说法正确的是(D)


A.卫星二的机械能一定大于卫星一的机械能
B.地球的质量 $ M = \frac{30\pi^{2}R_{0}^{3}}{GT_{0}^{2}} $
C.卫星二围绕地球做圆周运动的周期 $ T_{2} = 4T_{0} $
D.从图示时刻开始，经过 $ t = \frac{16}{21}T_{0} $ 时间两卫星第一次相距最近

答案： 例6 D [因为两卫星的质量未知，所以无法比较它们机械能的大小，A错误；对卫星一，由牛顿第二定律得$G\frac{Mm}{(4R_{0})^{2}} = m(\frac{2\pi}{T_{0}})^{2} × 2R_{0}$，解得地球质量为$M = \frac{32\pi^{2}R_{0}^{3}}{GT_{0}^{2}}$，故B错误；由开普勒第三定律$\frac{T_{2}^{2}}{T_{0}^{2}} = (\frac{8R_{0}}{2R_{0}})^{3}$可得卫星二围绕地球做圆周运动的周期为$T_{2} = 8T_{0}$，故C错误；两卫星共线且在地心同一侧时相距最近，设从图示时刻开始经过$t$时间，两卫星第一次相距最近，则$\frac{2\pi}{T_{0}} - \frac{2\pi}{8T_{0}}t = 2\pi - \frac{2\pi}{3}$，解得$t = \frac{16}{21}T_{0}$，故D正确。]