《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例6】
(2024·黑吉辽·7)如图(a)，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点$O$，竖直向上为正方向建立$x$轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图(b)所示(不考虑自转影响)，设地球、该天体的平均密度分别为$\rho_1$和$\rho_2$，地球半径是该天体半径的$n$倍。$\frac{\rho_1}{\rho_2}$的值为(C)


A.$2n$
B.$\frac{n}{2}$
C.$\frac{2}{n}$
D.$\frac{1}{2n}$
提醒：
完成作业 第五章 第23练

答案： 例6 C [设地球表面的重力加速度为$g$，该球状天体表面的重力加速度为$g'$，弹簧的劲度系数为$k$，小球质量为$m$，根据简谐运动的平衡位置合力为零有$k \cdot 2A = mg$，$k \cdot A = mg'$，可得$\frac {g}{g'} = 2$，设该球状天体的半径为$R$，在地球和天体表面，分别有$G\frac {\rho_1 \cdot \frac {4}{3}\pi (nR)^3 \cdot m}{(nR)^2} = mg$，$G\frac {\rho_2 \cdot \frac {4}{3}\pi R^3 \cdot m}{R^2} = mg'$，联立可得$\frac {\rho_1}{\rho_2} = \frac {2}{n}$，故选C。]

1. 基本公式
线速度大小：由 $ G \frac{Mm}{r^{2}} = m \frac{v^{2}}{r} $ 得 $ v = $。
角速度：由 $ G \frac{Mm}{r^{2}} = m \omega^{2} r $ 得 $ \omega = $。
周期：由 $ G \frac{Mm}{r^{2}} = m (\frac{2\pi}{T})^{2} r $ 得 $ T = $。
向心加速度：由 $ G \frac{Mm}{r^{2}} = ma $ 得 $ a = $。
结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径 $ r $ 越大，$ v $、$ \omega $、$ a $，$ T $，即越高越。

答案： $\sqrt{\frac{GM}{r}}$；$\sqrt{\frac{GM}{r^{3}}}$；$2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$；$\frac{GM}{r^{2}}$；越小；越大；慢

2. “黄金代换式”的应用
忽略中心天体自转影响，则有 $ mg = G \frac{Mm}{R^{2}} $，整理可得。在引力常量 $ G $ 和中心天体质量 $ M $ 未知时，可用 $ gR^{2} $ 替换 $ GM $。

答案： $GM = gR^{2}$

3. 人造卫星
卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星中的静止卫星的轨道是赤道轨道。
极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
同步卫星
静止卫星的轨道平面与共面，且与地球自转的方向相同。
周期与地球自转周期相等，$ T = $。
高度固定不变，$ h = 3.6 × 10^{7} \, m $。
运行速率约为 $ v = 3.1 \, km/s $。
近地卫星：轨道在附近的卫星，其轨道半径 $ r = R $(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度 $ v = 7.9 \, km/s $(人造地球卫星做匀速圆周运动的最大运行速度)。
注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星。

答案： 赤道平面；24h；地球表面

1. 在同一轨道上质量大的卫星受到地球引力大，是否加速度就大，运行速度就快？
2. 随着我国航空航天科技的发展，将来可以发射定点到广州上空的静止卫星吗？
3. 赤道上放置一待发射卫星 $ A $，天空运行一同步卫星 $ B $，可以由 $ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} $ 得 $ A $ 卫星线速度大于 $ B $ 卫星线速度吗？

答案： 1. 同一轨道上，卫星加速度$a=\frac{GM}{r^2}$，与质量无关；运行速度$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，与质量无关。故加速度不变，运行速度不变。
2. 静止卫星轨道平面必须在赤道平面上，广州不在赤道，故不能。
3. 公式$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$适用于万有引力完全提供向心力的在轨卫星。A在赤道地面，万有引力不完全提供向心力，不适用该公式；A线速度$v_A=\omega R$，B线速度$v_B=\omega r_B$，$r_B＞R$，则$v_B＞v_A$，不能得出A线速度大于B。