《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例 2】
质量 $m_{1}=0.3$ kg 的小车静止在光滑的水平面上，车长 $L = 1.5$ m，现有一质量为 $m_{2}=0.2$ kg、可视为质点的物块，以水平向右的速度 $v_{0}=2$ m/s 从左端滑上小车，如图所示，最后在小车上某处与小车保持相对静止，物块与小车间的动摩擦因数 $\mu = 0.5$，$g$ 取 $10$ m/s²，求：

(1) 物块与小车的共同速度大小；
(2) 从开始到共速，物块运动的位移大小 $x_{1}$；
(3) 从开始到共速，小车运动的位移大小 $x_{2}$；
(4) 在此过程中系统产生的内能；
(5) 若物块不滑离小车，物块的速度不能超过多少。
拓展
在例 2 中，若增大物块与小车间的动摩擦因数，则因摩擦产生的内能将不变(填“增大”“减小”或“不变”)。

答案： 例2
(1)0.8 m/s
(2)0.336 m
(3)0.096 m
(4)0.24 J
(5)5 m/s
解析
(1)设物块与小车的共同速度
为$v$，以水平向右为正方向，根据动量
守恒定律有$m_2v_0=(m_1 + m_2)v$，解得
$v=\frac{m_2v_0}{m_1 + m_2}=0.8$ m/s
(2)对物块，根据动能定理有$\mu m_2gx_1=\frac{1}{2}m_2v_0^2-\frac{1}{2}m_2v^2$
解得$x_1=0.336$ m
(3)对小车，根据动能定理有$\mu m_2gx_2=\frac{1}{2}m_1v^2 - 0$，解得$x_2=\frac{m_1v^2}{2\mu m_2g}=0.096$ m
(4)方法一 $\Delta x=x_1 - x_2=0.24$ m
$Q=\mu m_2g\cdot\Delta x=0.24$ J
方法二 $Q=\Delta E=\frac{1}{2}m_2v_0^2-\frac{1}{2}(m_1+m_2)v^2=0.24$ J
(5)$m_2v_0'=(m_1 + m_2)v'$
$\frac{1}{2}m_2v_0'^2-\frac{1}{2}(m_1 + m_2)v'^2=\mu m_2gL$
联立解得$v_0'=5$ m/s。
拓展 不变

【例 3】
(2024·甘肃卷·14) 如图，质量为 2 kg 的小球 A(视为质点)在细绳 $O'P$ 和 $OP$ 作用下处于平衡状态，细绳 $O'P = OP = 1.6$ m，与竖直方向的夹角均为 $60^{\circ}$。质量为 6 kg 的木板 B 静止在光滑水平面上，质量为 2 kg 的物块 C 静止在 B 的左端。剪断细绳 $O'P$，小球 A 开始运动。(重力加速度 $g$ 取 $10$ m/s²)

(1) 求 A 运动到最低点时细绳 $OP$ 所受的拉力。
(2) A 在最低点时，细绳 $OP$ 断裂。A 飞出后恰好与 C 左侧碰撞(时间极短)、碰后 A 竖直下落，C 水平向右运动。求碰后 C 的速度大小。
(3) A、C 碰后，C 相对 B 滑行 4 m 后与 B 共速。求 C 和 B 之间的动摩擦因数。0.15
提醒：完成作业 第七章 第 36 练

答案： 例3
(1)40 N
(2)4 m/s
(3)0.15
解析 设A、C质量为$m = 2$ kg，B的
质量为$M = 6$ kg，细绳$OP$长为$l =1.6$ m。
(1)A从开始运动到最低点由动能定
理$mgl(1 - \cos60°)=\frac{1}{2}mv_0^2 - 0$
对A在最低点，根据牛顿第二定律得
$F - mg=\frac{mv_0^2}{l}$
解得$v_0 = 4$ m/s，$F = 40$ N
(2)A与C相碰时由于碰后A竖直下
落，可知A水平速度变为0，由水平方
向动量守恒，可知
$mv_0=0 + mv_C$
解得$v_C=v_0 = 4$ m/s
(3)C相对B滑行4 m后与B共速，
根据动量守恒可得$mv_C=(M + m)v$
根据能量守恒得
$\mu mgL_{相对}=\frac{1}{2}mv_C^2-\frac{1}{2}(M + m)v^2$
联立解得$\mu = 0.15$。