《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例 4】(多选)(2023·全国甲卷·20)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上$P$点开有一个小孔，过$P$的横截面是以$O$为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从$P$点沿$PO$射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是(BD)


A.粒子的运动轨迹可能通过圆心$O$
B.最少经$2$次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C.射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D.每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心$O$的连线

答案：
例4　BD　[假设粒子带负电，第一次从A点和筒壁发生碰撞如图甲所示，$O_{1}$为圆周运动的圆心，由题可知粒子沿半径方向射入圆形磁场，出射时也沿半径方向，即粒子此时的速度方向为OA，说明粒子在和筒壁碰撞时速度会反向，由圆的对称性得粒子在其他点撞击同理，D正确；假设粒子运动过程过$O$点，粒子从P点进入磁场中速度发生偏转，则过P点的速度的垂线和OP连线的中垂线是平行的，不能交于一点确定圆心；撞击筒壁A点的速度垂线和AO连线的中垂线依旧平行不能确定圆心，则粒子不可能过$O$点，A错误；由题意可知粒子射入磁场以后的每次偏转轨迹圆心连线组成的多边形应为以筒壁为内接圆的多边形，这个多边形最少应为三角形，如图乙所示，即撞击两次，B正确；速度越大粒子做圆周运动的半径越大，碰撞次数可能增多，故粒子运动时间不一定减少，C错误。]

【例 5】(多选)(2024·湖北荆州市模拟)如图所示，$A$点的离子源沿纸面垂直于$OQ$方向向上射出一束负离子，离子所受的重力及离子间的相互作用忽略不计。为把这束负离子约束在$OP$之下的区域，可加垂直于纸面的匀强磁场。已知$O$、$A$两点间的距离为$s$，负离子的比荷为$\frac{q}{m}$，速率为$v$，$OP$与$OQ$间的夹角为$30^{\circ}$，则所加匀强磁场的磁感应强度$B$的取值范围和方向可能是(BD)


A.$B＞\frac{mv}{3qs}$，垂直于纸面向里
B.$B＞\frac{mv}{qs}$，垂直于纸面向里
C.$B＞\frac{mv}{qs}$，垂直于纸面向外
D.$B＞\frac{3mv}{qs}$，垂直于纸面向外

答案：
例5　BD　[当磁场方向垂直于纸面向里时，离子运动的临界轨迹是恰好与OP相切，如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为$r_{1}$，由几何关系得$\sin 30^{\circ}=\frac{r_{1}}{s + r_{1}}$，解得$r_{1}=s$，由$r_{1}=\frac{mv}{B_{1}q}$，可得$B_{1}=\frac{mv}{qs}$，此种磁场方向要求$B＞\frac{mv}{qs}$；当磁场方向垂直于纸面向外时，离子运动的临界轨迹是恰好与OP相切，如图乙所示，切点为N，设轨迹半径为$r_{2}$，由几何关系得$s=\frac{r_{2}}{\sin 30^{\circ}}+r_{2}$，解得$r_{2}=\frac{s}{3}$，由$r_{2}=\frac{mv}{qB_{2}}$可得$B_{2}=\frac{3mv}{qs}$，此种磁场方向要求$B＞\frac{3mv}{qs}$，B、D正确，A、C错误。]

【例 6】(多选)(2022·湖北卷·8)在如图所示的平面内，分界线$SP$将宽度为$L$的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为$B$，$SP$与磁场左右边界垂直。离子源从$S$处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与$SP$成$30^{\circ}$角。已知离子比荷为$k$，不计重力。若离子从$P$点射出，设出射方向与入射方向的夹角为$\theta$，则离子的入射速度和对应$\theta$角的可能组合为(BC)


A.$\frac{1}{3}kBL$，$0^{\circ}$
B.$\frac{1}{2}kBL$，$0^{\circ}$
C.$kBL$，$60^{\circ}$
D.$2kBL$，$60^{\circ}$

答案：
例6　BC　[若离子通过下部分磁场直接到达P点，如图甲所示，根据几何关系则有$R = L$，由$qvB = m\frac{v^{2}}{R}$，可得$v=\frac{qBL}{m}=kBL$，根据对称性可知出射速度与SP成$30^{\circ}$角斜向上，故出射方向与入射方向的夹角为$\theta = 60^{\circ}$。当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙所示，因为两个磁场的磁感应强度大小均为B，则根据对称性有$R =\frac{1}{2}L$，根据洛伦兹力提供向心力，$qvB = m\frac{v^{2}}{R}$，可得$v=\frac{qBL}{2m}=\frac{1}{2}kBL$，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为$\theta = 0^{\circ}$。通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足$v=\frac{qBL}{(2n - 1)m}=\frac{1}{2n - 1}kBL(n = 1,2,3\cdots)$，此时出射方向与入射方向的夹角为$\theta = 60^{\circ}$；当离子从上部分磁场射出时，需满足$v=\frac{qBL}{2nm}=\frac{1}{2n}kBL(n = 1,2,3\cdots)$，此时出射方向与入射方向的夹角为$\theta = 0^{\circ}$，故B、C正确，A、D错误。]