《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例 2】(2025·四川遂宁市开学考)
现代科学研究中，经常用磁场和电场约束带电粒子的运动轨迹，如图所示，有一棱长为 $ L $ 的正方体电磁区域 $ abcd - efgh $，其中 $ M $、$ N $ 分别为棱 $ ab $、棱 $ gh $ 的中点，以棱 $ ef $ 中点 $ O $ 为坐标原点、以 $ ON $ 为 $ x $ 轴正方向、$ OM $ 为 $ y $ 轴正方向、$ Oe $ 为 $ z $ 轴正方向建立三维坐标系 $ O - xyz $，正方体区域内可能单独或同时存在沿 $ z $ 轴负方向的匀强电场 $ E $ 及匀强磁场 $ B $，在 $ O $ 点有一粒子源，沿 $ x $ 轴正方向发射不同速率的带电粒子，粒子质量均为 $ m $，电荷量均为 $ +q $，且粒子入射速度在 $ 0.9v_0 \leq v \leq 3.3v_0 $ 范围内均匀分布，已知磁感应强度大小为 $ B = \frac{3mv_0}{2qL} $，电场强度大小为 $ E = \frac{81mv_0^2}{25\pi^2 qL} $，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，取 $ \sqrt{3} = 1.732 $。
(1) 若正方体区域内只存在磁场，求入射速度大小为 $ v_0 $ 的粒子在该区域中运动的时间；$\frac{4\pi L}{9v_0}$
(2) 若正方体区域内同时存在电场和磁场，求入射速度大小为 $ v_0 $ 的粒子从该区域射出的位置的坐标；
(3) 若正方体区域内同时存在电场和磁场，求从正方体上表面 $ abcd $ 射出的粒子数占粒子总数的百分比。25%

提醒：完成作业 第十一章 第 65 练

答案： 1. 粒子在该区域中运动的时间为$\frac{4\pi L}{9v_0}$；2. 粒子从该区域射出的位置的坐标为$(\frac{\sqrt{3}L}{3},L,-\frac{8L}{25})$；3. 从正方体上表面$abcd$射出的粒子数占粒子总数的百分比为25%