《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

1. 直线边界(进出磁场具有对称性,如图所示)

(a)
(b)
(c)

答案： 带电粒子进出直线边界磁场时速度与边界夹角相等，轨迹对称

2. 平行边界(往往存在临界条件,如图所示)

(a)
(b)
(c)

答案： （因题目具体问题缺失，无法给出确定选项，此处以通用结论示例）$r = \frac{mv}{qB}$

【例 1】(多选)(2024·广西柳州市模拟)如图所示，$MN$上方存在匀强磁场，同种粒子 a、b 从$O$点射入匀强磁场中，两粒子的入射方向与磁场边界$MN$的夹角分别为$30^{\circ}$和$60^{\circ}$，且均由$P$点射出磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用，则 a、b 两粒子(AC)


A.运动半径之比为$\sqrt{3}:1$
B.初速率之比为$1:\sqrt{3}$
C.运动时间之比为$5:2$
D.运动时间之比为$6:5$

答案： 例1　AC　[设OP=2d，则由几何关系可知$r_{a}=\frac{d}{\sin 30^{\circ}}=2d$，$r_{b}=\frac{d}{\sin 60^{\circ}}=\frac{2d}{\sqrt{3}}$，可知a、b的运动半径之比为$\sqrt{3}:1$，选项A正确；根据$qvB = m\frac{v^{2}}{r}$，可得$v=\frac{qBr}{m}$∝r，初速率之比为$\sqrt{3}:1$，选项B错误；根据$T = \frac{2\pi m}{qB}$，$t=\frac{\theta}{2\pi}T$∝$\theta$，a、b两粒子转过的角度之比为$300^{\circ}:120^{\circ}=5:2$，则运动时间之比为$5:2$，选项C正确，D错误。]

【例 2】(多选)如图所示，在直角坐标系的$y$轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为$B$，磁场的宽度为$d$，磁场方向垂直于$xOy$平面向里。一个质量为$m$、电荷量为$-q(q＞0)$的带电粒子，从原点$O$射入磁场，速度方向与$x$轴正方向成$30^{\circ}$角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从$y$轴上的某点离开磁场。忽略粒子重力，关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是(AB)


A.它的轨道半径为$\frac{2}{3}d$
B.它进入磁场时的速度为$\frac{2qBd}{3m}$
C.它在磁场中运动的时间为$\frac{2\pi m}{3qB}$
D.它的运动轨迹与$y$轴交点的纵坐标为$\sqrt{3}d$
拓展
若仅将电荷量变为$+q(q＞0)$，粒子仍恰好不从右边界射出，其余条件不变，则它的轨道半径为2d；它进入磁场时的速度为$\frac{2qBd}{m}$；它在磁场中运动的时间为$\frac{2\pi m}{3qB}$；它的运动轨迹与$y$轴交点的纵坐标为2$\sqrt{3}$d。

答案：
例2　AB　[粒子运动轨迹如图所示，$r + r\sin 30^{\circ}=d$，可得粒子运动轨道半径为$r=\frac{2}{3}d$，故A正确；由$qvB = m\frac{v^{2}}{r}$，$r=\frac{2}{3}d$，可得粒子进入磁场时的速度为$v=\frac{qBr}{m}=\frac{2qBd}{3m}$，故B正确；$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{qB}$，由几何关系知$t=\frac{2}{3}T$，可得粒子在磁场中运动的时间为$t=\frac{4\pi m}{3qB}$，故C错误；粒子运动轨迹与y轴交点的纵坐标为$y=-2r\cos 30^{\circ}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}d$，故D错误。]

拓展　2d　$\frac{2qBd}{m}$　$\frac{2\pi m}{3qB}$　2$\sqrt{3}$d
解析　粒子运动轨迹如图所示，$r - r\sin 30^{\circ}=d$，可得粒子运动轨道半径为$r=2d$；由$qvB = m\frac{v^{2}}{r}$，$r = 2d$，可得粒子进入磁场时的速度为$v=\frac{2qBd}{m}$；$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{qB}$，由几何关系知$t=\frac{1}{3}T$，可得粒子在磁场中运动的时间为$t=\frac{2\pi m}{3qB}$；粒子运动轨迹与y轴交点的纵坐标为$y =2r\cos 30^{\circ}=2\sqrt{3}d$。

【例 3】(2025·江西省重点学校联考)如图所示，直角三角形$MNP$区域内存在磁感应强度大小为$B$，方向垂直纸面向外的匀强磁场。$\angle M = 30^{\circ}$，$NP = L$，$C$为$MP$的中点，$D$为$NP$的中点，在$C$点有一粒子源可沿平行$PN$方向射入速度大小不同的正、负电子。电子的质量为$m$、电荷量为$e$，不考虑电子间的相互作用，不计正、负电子的重力。下列说法正确的是(C)


A.可能有正电子从$M$点射出磁场
B.负电子从$D$点离开磁场时的速度大小为$\frac{eBL}{2m}$
C.从$MN$边射出的正电子在磁场中运动的最长时间为$\frac{2\pi m}{3eB}$
D.正电子在磁场中运动的最长时间为$\frac{\pi m}{3eB}$

答案：
例3　C　[正电子恰好从MN边界射出的轨迹如图所示，根据正电子的运动的轨迹可知，其不可能从M点射出磁场，选项A错误；负电子从D点离开磁场的轨迹如图，负电子从D点离开磁场时，由几何关系知$(\frac{L}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}L}{2}-r)^{2}=r^{2}$，解得$r=\frac{\sqrt{3}}{3}L$，则负电子的速度大小为$v=\frac{eBr}{m}=\frac{eBL}{\sqrt{3}m}$，选项B错误；当从MN边射出的正电子运动的轨迹与MN相切时在磁场中运动时间最长，由几何关系可知圆心角为$120^{\circ}$，则最长时间$t_{m}=\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}×\frac{2\pi m}{eB}=\frac{2\pi m}{3eB}$，选项C正确；正电子从C、M之间射出时在磁场中运动时间最长，则在磁场中运动的最长时间为$t_{m}'=\frac{T}{2}=\frac{\pi m}{eB}$，选项D错误。]