《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例 4】
(多选)(2025·甘肃省西北师范大学附属中学期中)如图所示,与水平面成 θ 角的传送带,在电动机的带动下以恒定的速率 v 顺时针运行。现将质量为 m 的小物块从传送带下端 A 点无初速度地放到传送带上,经时间 t₁物块与传送带达到共同速度,再经时间 t₂物块到达传送带的上端 B 点,已知 A、B 间的距离为 L,重力加速度为 g,则在物块从 A 运动到 B 的过程中,以下说法正确的是 (BC)


A.在 t₁时间内摩擦力对物块做的功等于 $\frac{1}{2}mv^{2}$
B.在 t₁时间内物块和传送带间因摩擦而产生的内能等于物块机械能的增加量
C.在 t₁ + t₂时间内传送带对物块做的功等于 $mgL\sin\theta + \frac{1}{2}mv^{2}$
D.在 t₁ + t₂时间内因运送物块,电动机至少多消耗 $mgL\sin\theta + mv^{2}$ 的电能

答案： 例4 BC［由动能定理可知，在$t_{1}$时间内摩擦力和重力对物块做的功之和等于$\frac{1}{2}mv^{2}$，选项A错误；在$t_{1}$时间内，物块相对传送带的位移$\Delta x = vt_{1} - \frac{v}{2}t_{1} = \frac{v}{2}t_{1}$，则物块和传送带间因摩擦而产生的内能为$Q = f \cdot \Delta x = \frac{1}{2}fv t_{1}$；物块机械能的增加量等于摩擦力做的功，即$\Delta E = f \cdot \frac{v}{2}t_{1} = \frac{1}{2}fv t_{1}$，即在$t_{1}$时间内物块和传送带间因摩擦而产生的内能等于物块机械能的增加量，选项B正确；由功能关系可知，在$t_{1} + t_{2}$时间内传送带对物块做的功等于物块机械能的增加量，即$mgL \sin \theta + \frac{1}{2}mv^{2}$，选项C正确；在$t_{1}$时间内因运送物块，电动机至少多消耗的电能为$mgL_{1} \sin \theta + \frac{1}{2}mv^{2} + Q$，由选项B可知$mgL_{1} \sin \theta + \frac{1}{2}mv^{2} = Q$，则在$t_{1}$时间内因运送物块电动机至少多消耗的电能为$2mgL_{1} \sin \theta + mv^{2}$；在$t_{2}$时间内因运送物块电动机至少多消耗的电能为$mgL_{2} \sin \theta$；则在$t_{1} + t_{2}$时间内因运送物块，电动机至少多消耗$2mgL_{1} \sin \theta + mv^{2} + mgL_{2} \sin \theta = mg(L + L_{1}) \sin \theta + mv^{2}$的电能，选项D错误。］

1. 内容:能量既不会凭空,也不会凭空消失,它只能从一种形式为其他形式,或者从一个物体到别的物体,在转化或转移的过程中,能量的保持不变。

答案： 产生；转化；转移；总量

2. 表达式:
(1)$E_{初} = E_{末}$,初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
(2)$\Delta E_{增} = \Delta E_{减}$,增加的能量总和等于减少的能量总和。

答案： 这两种表达式均正确反映了能量守恒定律

3. 理解
(1)某种形式的能量减少,一定存在其他形式的能量增加,且减少量和增加量一定相等;
(2)某个物体的能量减少,一定存在其他物体的能量增加,且减少量和增加量一定相等。

答案：
(1)正确；
(2)正确

【例 5】
(2024·山西运城市期中)如图所示,将原长为 L 的轻质弹簧放置在倾角为 37°的轨道 AB 上,弹簧的一端固定在 A 点,另一端与质量为 m 的滑块接触但不连接(滑块可视为质点)。AB 长为 2L,B 端与半径为 L 的光滑圆轨道 BCD 相切,D 点在圆心 O 的正上方,C 点与 O 点等高。滑块与 AB 间的动摩擦因数 μ = 0.5。用外力推动滑块至 P 点,使得 AP = L/2,然后放开,滑块由静止开始沿轨道 AB 运动,之后刚好能到达圆轨道的最高点 D。已知重力加速度大小为 g,sin 37° = 0.6,cos 37° = 0.8。

(1)求滑块初始位于 P 点时,弹簧的弹性势能 $E_{p}$;
(2)若更换另一个质量为 m₁的滑块,仍将滑块从 P 点由静止释放,滑块能滑上圆轨道且能沿着圆轨道滑下,求 m₁的可能取值范围。3.8mgL$\frac{38}{23}m \leqslant m_{1} ＜ \frac{38}{15}m$

答案： 例5
(1)$3.8mgL$
(2)$\frac{38}{23}m \leqslant m_{1} ＜ \frac{38}{15}m$
解析
(1)对滑块在D点，由牛顿第二定律得$mg = \frac{mv^{2}}{L}$
对滑块从P点到D点，由能量守恒得$E_{\mathrm{p}} = \mu mg \cos 37^{\circ} × \frac{3L}{2} + mg \frac{3L}{2} \sin 37^{\circ} + mgL(1 + \cos 37^{\circ}) + \frac{1}{2}mv^{2}$
解得$v = \sqrt{gL}$，$E_{\mathrm{p}} = 3.8mgL$
(2)若滑块质量较大，恰好运动到B点，由能量守恒得$E_{\mathrm{p}} = \mu m_{2}g \cos 37^{\circ} × \frac{3L}{2} + m_{2}g \frac{3L}{2} \sin 37^{\circ}$
若滑块质量较小，恰好运动到C点，由能量守恒得$E_{\mathrm{p}} = \mu m_{3}g \cos 37^{\circ} × \frac{3L}{2} + m_{3}g \frac{3L}{2} \sin 37^{\circ} + m_{3}gL \cos 37^{\circ}$
解得$m_{2} = \frac{38}{15}m$，$m_{3} = \frac{38}{23}m$
所以$m_{1}$的可能取值范围为$\frac{38}{23}m \leqslant m_{1} ＜ \frac{38}{15}m$。