《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例 1】
(1) 如图甲所示，在空间中存在水平向右、沿 $ x $ 轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为 $ B $，在原点 $ O $ 有一个质量为 $ m $、带电荷量为 $ q $ 的带正电的粒子以速度 $ v_0 $ 垂直 $ x $ 轴射入磁场，不计粒子的重力，分析粒子的运动情况，求粒子运动轨迹距离 $ x $ 轴的最远距离。

(2) 如图乙所示，若粒子的速度方向与 $ x $ 轴夹角为 $ \theta $。

① 试分析粒子的运动情况；
② 求粒子运动的轨迹距 $ x $ 轴的最远距离及轨迹与 $ x $ 轴相邻交点之间的距离。
(3) 如图丙所示，若在空间再加上沿 $ x $ 轴方向电场强度大小为 $ E $ 的匀强电场，粒子速度方向仍与 $ x $ 轴方向成 $ \theta $ 角。

① 试分析粒子的运动情况；
② 求粒子离 $ x $ 轴的最大距离；
③ 求粒子第三次(起始位置为第零次)与 $ x $ 轴相交时的位置坐标。$\frac{2mv_0\sin\theta}{qB}$$\frac{6\pi m}{qB}(v_0\cos\theta + \frac{3\pi E}{B})$
拓展
若电、磁场方向均沿 $ x $ 轴正方向，粒子射入磁场的方向与 $ x$轴$$ 轴垂直，如图所示，粒子与 $ x $ 轴的交点坐标 $ x_1 $、$ x_2 $、$ x_3 \cdots $ 满足什么关系？$x_1:x_2:x_3\cdots = 1:4:9\cdots$

答案： 1. 粒子在垂直x轴的平面内做匀速圆周运动，距x轴最远距离为$\frac{2mv_0}{qB}$；2. ①粒子做等距螺旋线运动（在垂直于x轴的平面内做匀速圆周运动，在平行于x轴方向做匀速直线运动）；②轨迹距x轴的最远距离为$\frac{2mv_0\sin\theta}{qB}$，轨迹与x轴相邻交点之间的距离为$\frac{2\pi mv_0\cos\theta}{qB}$；3. ①粒子做螺距逐渐增大的“旋进”运动（在垂直x轴的平面内做匀速圆周运动，在平行x轴方向做匀加速直线运动）；②粒子离x轴的最大距离为$\frac{2mv_0\sin\theta}{qB}$；③粒子第三次与x轴相交时的位置坐标为$\frac{6\pi m}{qB}(v_0\cos\theta + \frac{3\pi E}{B})$；拓展：粒子与x轴的交点坐标$x_1$、$x_2$、$x_3 \cdots $满足$x_1:x_2:x_3\cdots = 1:4:9\cdots$