《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例 3】(2023·辽宁卷·11)某同学为了验证对心碰撞过程中的动量守恒定律，设计了如下实验：用纸板搭建如图所示的滑道，使硬币可以平滑地从斜面滑到水平面上，其中 $ OA $ 为水平段。选择相同材质的一元硬币和一角硬币进行实验。

测量硬币的质量，得到一元和一角硬币的质量分别为 $ m_1 $ 和 $ m_2 $($ m_1 ＞ m_2 $)。将硬币甲放置在斜面某一位置，标记此位置为 $ B $。由静止释放甲，当甲停在水平面上某处时，测量甲从 $ O $ 点到停止处的滑行距离 $ OP $。将硬币乙放置在 $ O $ 处，左侧与 $ O $ 点重合，将甲放置于 $ B $ 点由静止释放。当两枚硬币发生碰撞后，分别测量甲乙从 $ O $ 点到停止处的滑行距离 $ OM $ 和 $ ON $。保持释放位置不变，重复实验若干次，得到 $ OP $、$ OM $、$ ON $ 的平均值分别为 $ s_0 $、$ s_1 $、$ s_2 $。
(1) 在本实验中，甲选用的是一元(填“一元”或“一角”)硬币；
(2) 碰撞前，甲到 $ O $ 点时速度的大小可表示为\sqrt{2\mu gs_0}(设硬币与纸板间的动摩擦因数为 $ \mu $，重力加速度为 $ g $)；
(3) 若甲、乙碰撞过程中动量守恒，则 $ \frac{\sqrt{s_0} - \sqrt{s_1}}{\sqrt{s_2}} = $\frac{m_2}{m_1}(用 $ m_1 $ 和 $ m_2 $ 表示)，然后通过测得的具体数据验证硬币对心碰撞过程中动量是否守恒；
(4) 由于存在某种系统或偶然误差，计算得到碰撞前后甲动量变化量大小与乙动量变化量大小的比值不是 1，产生这种误差可能的原因______。

答案：
(1)一元$ (2)\sqrt{2\mu gs_0} (3)\frac{m_2}{m_1}$
(4)见解析
解析
(1)根据题意可知，甲与乙碰撞后没有反弹，可知甲的质量大于乙的质量，甲选用的是一元硬币；
(2)甲从O点到P点，根据动能定理$ - \mu m_1gs_0 = 0 - \frac{1}{2}m_1v_0^2，$解得碰撞前，甲到O点时速度的大小$v_0 =$
$\sqrt{2\mu gs_0}$
(3)同理可得，碰撞后甲的速度和乙的速度分别为$v_1 = \sqrt{2\mu gs_1}，$$v_2 = \sqrt{2\mu gs_2}$
若动量守恒，则满足$m_1v_0 = m_1v_1 + m_2v_2$
整理可得$\frac{\sqrt{s_0} - \sqrt{s_1}}{\sqrt{s_2}} = \frac{m_2}{m_1}$
(4)由于存在某种系统或偶然误差，计算得到碰撞前后甲动量变化量大小与乙动量变化量大小的比值不是1，这种误差可能的原因有：①测量误差，因为无论是再精良的仪器总是会有误差的，不可能做到绝对准确；②碰撞过程中，我们认为内力远大于外力，动量守恒，实际上碰撞过程中，两个硬币组成的系统合外力不为零。

【例 4】(2025·湖南长沙市第一中学月考)动量守恒也可以用其他实验装置验证。
(1) 如图甲所示，使从斜槽轨道滚下的小球打在正对的竖直墙上，把白纸和复写纸附在墙上，记录小球的落点。选择半径相等的小钢球 A 和硬塑料球 B 进行实验，测量出 A、B 两个小球的质量 $ m_1 $、$ m_2 $，其他操作重复验证动量守恒时的步骤。$ M' $、$ P' $、$ N' $ 为竖直记录纸上三个落点的平均位置，小球静止于水平轨道末端时球心在竖直记录纸上的水平投影点为 $ O' $，未放 B 球时，A 球的落点是 $ P' $ 点，用刻度尺测量 $ M' $、$ P' $、$ N' $ 到 $ O' $ 的距离分别为 $ y_1 $、$ y_2 $、$ y_3 $。若两球相碰前后的动量守恒，其表达式可表示为A。

A. $ \frac{m_1}{\sqrt{y_2}} = \frac{m_1}{\sqrt{y_3}} + \frac{m_2}{\sqrt{y_1}} $
B. $ \frac{m_1}{y_2} = \frac{m_1}{y_3} + \frac{m_2}{y_1} $
C. $ m_1 \sqrt{y_2} = m_1 \sqrt{y_3} + m_2 \sqrt{y_1} $
D. $ \frac{m_1}{y_2} = \frac{m_1}{y_1} + \frac{m_2}{y_3} $
(2) 用如图乙所示装置也可以验证碰撞中的动量守恒，实验步骤与上述实验类似。未放质量为 $ m_2 $ 的小球时，质量为 $ m_1 $ 的小球的落点是 $ E $，图中 $ D $、$ E $、$ F $ 到抛出点 $ B $ 的距离分别为 $ L_D $、$ L_E $、$ L_F $。若两球相碰前后的动量守恒，其表达式可表示为C。

A. $ m_1 L_F = m_1 L_D + m_2 L_E $
B. $ m_1 L_E^2 = m_1 L_D^2 + m_2 L_F^2 $
C. $ m_1 \sqrt{L_E} = m_1 \sqrt{L_D} + m_2 \sqrt{L_F} $
D. $ L_E = L_F - L_D $
(3) 如图丙所示的水平气垫导轨上，实验时让两滑块分别从导轨的左右两侧向中间运动，滑块运动过程所受的阻力可忽略，它们穿过光电门后发生碰撞并粘连在一起。实验测得滑块 A 的总质量为 $ m_1 $、滑块 B 的总质量为 $ m_2 $，两滑块遮光片的宽度相同，光电门记录的遮光片挡光时间如表所示。
在实验误差允许范围内，若满足关系式\frac{m_1}{T_1} - \frac{m_2}{T_2} = \frac{m_1 + m_2}{T_3}(用测量的物理量表示)，即验证了碰撞前后两滑块组成的系统动量守恒。

提醒：完成作业 第七章 第 38 练

答案：
(1)A
(2)C
$(3)\frac{m_1}{T_1} - \frac{m_2}{T_2} = \frac{m_1 + m_2}{T_3}$
解析
(1)两小球做平抛运动，水平方向上有
x = vt，竖直方向上有$t = \sqrt{\frac{2y}{g}}，$
解得$v = x\sqrt{\frac{g}{2y}}$
可知碰撞前后的速度正比于$\frac{1}{\sqrt{y}}$
若动量守恒则有$m_1v = m_1v_1'+m_2v_2'$
整理得$\frac{m_1}{\sqrt{y_2}} = \frac{m_1}{\sqrt{y_3}} + \frac{m_2}{\sqrt{y_1}}，$故选A。
(2)碰撞后小球均做平抛运动，设斜面与水平面的夹角为α，由平抛运动规律得$L\sin\alpha = \frac{1}{2}gt^2，$$L\cos\alpha = vt$
联立解得$v = \sqrt{\frac{gL\cos^2\alpha}{2\sin\alpha}}$
可知碰撞前后的速度正比于$\sqrt{L}，$
若动量守恒则有$m_1v_0 = m_1v_1 + m_2v_2，$可变形成验证表达式$m_1\sqrt{L_E} = m_1\sqrt{L_D} + m_2\sqrt{L_F}，$故选C。
(3)若让两滑块分别从导轨的左右两侧向中间运动，选取向右为正方向，依题意有
$m_1v_1 - m_2v_2 = - (m_1 + m_2)v_3$
设遮光片的宽度为d，则
$v_1 = \frac{d}{T_1}，$$v_2 = \frac{d}{T_2}，$$v_3 = \frac{d}{T_3}$
联立可得$\frac{m_1}{T_1} - \frac{m_2}{T_2} = \frac{m_1 + m_2}{T_3}。$