《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例2】
均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处时产生的电场。如图所示，在半球面$AB$上均匀分布正电荷，总电荷量为$q$，球面半径为$R$，$CD$为通过半球顶点与球心$O$的轴线，在轴线上有$M$、$N$两点，$OM = ON = 2R$，已知$M$点的电场强度大小为$E$，静电力常量为$k$，则$N$点的电场强度大小为(A)


A.$\frac{kq}{2R^{2}}-E$
B.$\frac{kq}{4R^{2}}$
C.$\frac{kq}{4R^{2}}-E$
D.$\frac{kq}{4R^{2}}+E$

答案： 例2　A　[把圆心在O点的二分之一球壳补为完整的带电荷量为2q的带电球壳，则在M、N两点的电场强度大小均为$E_0 = \frac{k \cdot 2q}{(2R)^2} = \frac{kq}{2R^2}$。左半球壳在M点产生的电场强度为E，则右半球壳在M点产生的电场强度为$E' = E_0 - E = \frac{kq}{2R^2} - E$，由对称性知，左半球壳在N点产生的电场强度大小也为$\frac{kq}{2R^2} - E$，故选A。]

【例3】(2024·湖北省荆州中学适应性考试)
均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处的点电荷产生的电场。如图所示，在绝缘球$\frac{2}{3}$球面$AA_{1}B_{1}B$上均匀分布正电荷，总电荷量为$q$；在剩余$\frac{1}{3}$球面$AB$上均匀分布负电荷，总电荷量是$\frac{1}{2}q$。球半径为$R$，球心为$O$，$CD$为$\frac{2}{3}$球面$AA_{1}B_{1}B$的对称轴，在轴线上有$M$、$N$两点，且$OM = ON = 2R$，$A_{1}A = B_{1}B$，$A_{1}A// B_{1}B// CD$。已知$\frac{1}{3}$球面$A_{1}B_{1}$在$M$点的电场强度大小为$E$，静电力常量为$k$，则$N$点的电场强度大小为(B)


A.$|\frac{3kq}{8R^{2}}-E|$
B.$|\frac{3kq}{8R^{2}}-2E|$
C.$\frac{kq}{12R^{2}}+E$
D.$\frac{kq}{12R^{2}}+2E$

答案： 例3　B　[将AB部分补上，使球壳变成一个均匀带正电的完整的球壳，完整球壳带电荷量为$Q = \frac{3}{2}q$，为保证电荷量不变，球面AB应带负电且电荷量为q，则该球壳带正电的完整部分在N点产生的电场强度为$E_N =\frac{kQ}{(2R)^2} = \frac{3kq}{8R^2}$，根据对称性可知，带负电且电荷量为q的球面AB在N点产生的电场强度大小也为$2E$，与$E_N$方向相反，则N点的电场强度大小为$E_N' = |\frac{3kq}{8R^2} - 2E|$，故选B。]

【例4】
如图所示，真空中有一电荷均匀分布的带正电圆环，半径为$r$，带电荷量为$q$，圆心$O$在$x$轴的坐标原点处，圆环的边缘$A$点与$x$轴上$P$点的连线与$x$轴的夹角为$37^{\circ}$，静电力常量为$k$，取$\sin 37^{\circ}=0.6$、$\cos 37^{\circ}=0.8$，则整个圆环产生的电场在$P$点的电场强度大小为(B)


A.$\frac{27kq}{125r^{2}}$
B.$\frac{36kq}{125r^{2}}$
C.$\frac{48kq}{125r^{2}}$
D.$\frac{64kq}{125r^{2}}$

答案： 例4　B　[把圆环分为n等份（n足够大），每一份的电荷量为$\Delta q$，则有$n =\frac{q}{\Delta q}$，每小份可以看成点电荷，由点电荷的电场强度公式可知每小份产生的电场在P点的电场强度大小均为$E_0=\frac{k\Delta q}{(AP)^2}$，由几何关系$\sin 37^{\circ} = \frac{r}{AP}$，可得$E_0 = \frac{9k\Delta q}{25r^2}$。在P点，$E_0$在垂直x轴方向的分量大小为$E_y$，根据对称性，n个$E_y$的矢量和为0，$E_0$在x轴方向的分量大小为$E_x = E_0\cos 37^{\circ}$，n个$E_x$的矢量和就是圆环产生的电场在P点的电场强度，即$E = nE_x$，解得$E = \frac{36kq}{125r^2}$，A、C、D错误，B正确。]

1. 半径为$R$的绝缘圆环固定放置，圆心为$O$，圆环上均匀分布着电荷量为$Q$的负电荷。如图所示，在$A$、$B$两处分别取走弧长为$\Delta x(\Delta x\ll R)$的圆弧，圆环上剩余电荷的分布不变，$C_{1}$、$C_{2}$分别是$A$、$B$间两段圆弧的中点，已知$\angle AOB = 60^{\circ}$，静电力常量为$k$，则圆环上剩余电荷在$O$点产生的电场强度的大小和方向为(A)

A.$\frac{\sqrt{3}kQ\Delta x}{2\pi R^{3}}$，由$O$指向$C_{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}kQ\Delta x}{2\pi R^{3}}$，由$O$指向$C_{1}$
C.$\frac{\sqrt{3}kQ\Delta x}{\pi R^{3}}$，由$O$指向$C_{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}kQ\Delta x}{\pi R^{3}}$，由$O$指向$C_{1}$

答案： 1.A　[假设把取走的电荷放置到原位置，A、B两处的电荷分别在O点产生的电场强度大小均为$E_1 = \frac{kQ\Delta x}{2\pi R \cdot R^2}$，A、B两处的电荷在O点产生的合电场强度大小为$E_2 = 2E_1\cos 30^{\circ}$，方向由O指向$C_1$，此时整个圆环在O点的合电场强度为0，则圆环上剩余的电荷在O点产生的合电场强度的大小为$E_3 = E_2 = \frac{\sqrt{3}kQ\Delta x}{2\pi R^2}$，方向由O指向$C_2$，故选A。]

2. (来自人教教材改编)如图所示，电荷量为$q$的点电荷与均匀带电薄板相距$3d$，水平虚线垂直薄板且过板的几何中心，虚线上$P$、$Q$两点到板的距离均为$d$，静电力常量为$k$。已知$P$点电场强度为$0$，则$Q$点电场强度大小为(A)


A.$k\frac{5q}{16d^{2}}$
B.$k\frac{3q}{16d^{2}}$
C.$k\frac{q}{2d^{2}}$
D.$0$

答案： 2.A　[由已知条件可得薄板与点电荷在P点的电场强度等大反向，则薄板在P点的电场强度大小$E_1 = \frac{kq}{(4d)^2}= \frac{kq}{16d^2}$，根据对称性可知薄板在Q点的电场强度大小$E_2 = E_1 = \frac{kq}{16d^2}$，方向相反，则Q点电场强度大小为$E_Q=\frac{kq}{4d^2} + \frac{kq}{16d^2} = k\frac{5q}{16d^2}$，故选A。]

3. (2021·江苏卷·10)一球面均匀带有正电荷，球内的电场强度处处为零，如图所示，$O$为球心，$A$、$B$为直径上的两点，$OA = OB$，现垂直于$AB$将球面均分为左右两部分，$C$为截面上的一点，移去左半球面，右半球面所带电荷仍均匀分布，则(A)


A.$O$、$C$两点电势相等
B.$A$点的电场强度大于$B$点
C.沿直线从$A$到$B$电势先升高后降低
D.沿直线从$A$到$B$电场强度逐渐增大

答案： 3.A　[将题中半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，由于球内的电场强度处处为零，补全以后可知左右两侧球壳在C点的合电场强度为零，因左右侧球壳的电场强度具有对称性，要想合电场强度为零只能是两部分球壳在C点的电场强度都是垂直于截面方向，则可知右侧球壳在C点的电场强度方向水平向左，同理OC上其他点的电场强度都是水平向左，因此O、C点连线为等势线，故O、C两点电势相等，故A正确；设左、右半球在A点产生的电场强度大小分别为$E_1$和$E_2$；由题知，均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则知$E_1 = E_2$，根据对称性，左、右半球在B点产生的电场强度大小分别为$E_2$和$E_1$，在题图所示电场中，A的电场强度大小为$E_2$，方向向左，B的电场强度大小为$E_1$，方向向左，所以A点的电场强度与B点的电场强度相同，沿直线从A到B电场强度不可能逐渐增大，故B、D错误；根据电场的叠加原理可知，在AB连线上电场线方向向左，沿着电场线方向电势逐渐降低，则沿直线从A到B电势升高，故C错误。]