《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例 1】(2025·广东中山市开学考)
某一长直的赛道上，一辆赛车前方 $ 200 \ m $ 处有一安全车正以 $ 10 \ m/s $ 的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以 $ 2 \ m/s^2 $ 的加速度追赶。求：
(1)赛车出发 $ 3 \ s $ 末的瞬时速度大小；
(2)赛车追上安全车所需的时间及追上时的速度大小；
(3)追上之前两车的最大距离。6m/s20s　40m/s
拓展 若当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以 $ 4 \ m/s^2 $ 的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设两车道平行，赛车可以从安全车旁经过而不相碰，用物理分析法和图像法两种方法解题)225m20s

答案：

(1)6m/s　
(2)20s　40m/s
(3)225m
解析　
(1)赛车出发3s末的瞬时速度大小为
$v_1 = a_1t_1 = 2×3m/s = 6m/s$。
(2)设经$t_2$时间追上安全车，由位移关系得
$v_0t_2 + 200m = \frac{1}{2}a_1t_2^2$，
解得$t_2 = 20s$
此时赛车的速度$v = a_1t_2 = 2×20m/s = 40m/s$
(3)方法一　物理分析法
当两车速度相等时，两车相距最远。由$v_0 = a_1t_3$得两车速度相等时，经过的时间
$t_3 = \frac{v_0}{a_1} = \frac{10}{2}s = 5s$，追上之前两车最远相距
$\Delta s = v_0t_3 + 200m - \frac{1}{2}a_1t_3^2$
$=(10×5 + 200 - \frac{1}{2}×2×5^2)m = 225m$。
方法二　二次函数法
$\Delta s = v_0t + 200 - \frac{1}{2}a_1t^2 = 10t + 200 - t^2$
当$t = \frac{-b}{2a} = \frac{-10}{2×(-1)}s = 5s$时，$\Delta s$有极值，相距最远，将$t = 5s$代入解得$\Delta s_{max} = 225m$。
方法三　图像法
从图像可知，当赛车速度等于安全车速度时，即$v_0 = a_1t_0 = 10m/s$，得$t_0 = 5s$时相距最远，
$\Delta s_{max} = v_0t_0 - \frac{v_0}{2}t_0 + 200m = 225m$。
拓展　20s
解析　方法一　物理分析法
假设再经$t_4$时间两车第二次相遇(两车一直在运动)，由位移关系得
$v_0t_4 - \frac{1}{2}a_2t_4^2 = v_0t_4$
解得$t_4 = 15s$
赛车停下来的时间$t' = \frac{v}{a_2} = \frac{40}{4}s = 10s$ ，所以$t_4 = 15s$不符合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动
设再经时间$t_5$两车第二次相遇，应满足$\frac{v^2}{2a_2} = v_0t_5$，解得$t_5 = 20s$。
方法二　图像法
赛车和安全车的$v - t$图像如图。 由图知$t = 10s$，赛车停下时，安全车的位移小于赛车的位移，由$v_0t_5 = \frac{v^2}{2a_2}$，得$t_5 = 20s$。

【例 2】(2024·江苏泰州市质量检测)
大雾天气，有甲、乙两车在同一平直车道上匀速行驶，甲车在后速度大小 $ v_{1} $ 为 $ 14 \ m/s $，乙车在前速度大小 $ v_{2} $ 为 $ 10 \ m/s $，某时刻甲车车头与乙车车尾间的距离为 $ L_{0} = 30.5 \ m $，此时乙车突然以大小为 $ 1 \ m/s^2 $ 的加速度 $ a_{0} $ 刹车，经过时间 $ t_{0} $ 甲车车头与乙车车尾间的距离减为 $ L = 14 \ m $，为了避免两车相撞，此时甲车也立即刹车做匀减速直线运动，求：
(1)$ t_{0} $ 的值；
(2)刹车后，甲车做匀减速直线运动的加速度至少多大。3s2.75m/s²

答案：
(1)3s　
(2)2.75m/s²
解析　
(1)在$t_0$时间内，甲、乙两车的位移分别为
$x_1 = v_1t_0$，$x_2 = v_2t_0 - \frac{1}{2}a_0t_0^2$
又$x_1 - x_2 = L_0 - L$，解得$t_0 = 3s$
(2)甲车开始刹车时，
乙车速度为$v_3 = v_2 - a_0t_0 = 7m/s$
若甲车刹车后经时间$t$两车速度相等(均为$v$)，两车恰好避免相撞，
则$v = v_1 - at$，$v = v_3 - a_0t$
时间$t$内甲、乙两车的位移分别为
$x_3 = v_1t - \frac{1}{2}at^2$，$x_4 = v_3t - \frac{1}{2}a_0t^2$ ，又$x_3 - x_4 = L$
联立以上各式解得$a = 2.75m/s^2$
即甲车刹车的加速度大小至少为$2.75m/s^2$。