《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

[变式 2]
（八省联考·陕西·15）如图，$ cd $ 边界与 $ x $ 轴垂直，在其右方竖直平面内，第一、二象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，第三、四象限存在垂直纸面向内的匀强磁场，磁场区域覆盖有竖直向上的外加匀强电场。在 $ xOy $ 平面内，某质量为 $ m $、电荷量为 $ q $ 带正电的绝缘小球从 $ P $ 点与 $ cd $ 边界成 $ 30^{\circ} $ 角以速度 $ v_0 $ 射入，小球到坐标原点 $ O $ 时恰好以速度 $ v_0 $ 竖直向下运动，此时去掉外加的匀强电场。重力加速度大小为 $ g $，已知磁感应强度大小均为 $ \frac{mg}{qv_0} $。求：

（1）电场强度的大小和 $ P $ 点距 $ y $ 轴的距离；
（2）小球第一次到达最低点时速度的大小；
（3）小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时所用时间。$\frac{mg}{q}$$\frac{(2 + \sqrt{3})v_0^2}{2g}$$(1 + \sqrt{2})v_0$$\frac{3\pi v_0}{4g}$

答案：
[变式2]　
(1)$\frac{mg}{q}$　$\frac{(2 + \sqrt{3})v_0^2}{2g}$
(2)$(1 + \sqrt{2})v_0$　
(3)$\frac{3\pi v_0}{4g}$
解析　
(1)依题意，小球从$P$点运动到坐标原点$O$，速率没有改变，即动能变化量为零，由动能定理可知合力做功为零，电场力与重力等大反向，可知$qE = mg$，解得$E = \frac{mg}{q}$，可知小球由$P$点到$O$点在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图甲所示
　　　
根据$qv_0B = m\frac{v_0^2}{r}$，解得$r = \frac{v_0^2}{g}$
由几何关系，可得$x_P = r + r\cos 30°$
联立解得$x_P = \frac{(2 + \sqrt{3})v_0^2}{2g}$
(2)把小球在坐标原点的速度$v_0$分解为沿$x$轴正方向的$v_0$和与$x$轴负方向成$45°$的$\sqrt{2}v_0$，如图乙所示
　　　
$qv_0B = mg$，知其中沿$x$轴正方向的$v_0$对应的洛伦兹力恰好与小球重力平衡，沿$x$轴正方向小球做匀速直线运动
与$x$轴负方向成$45°$的$\sqrt{2}v_0$对应的洛伦兹力提供小球做逆时针匀速圆周运动的向心力，可知小球第一次到达最低点时速度的大小为$v = v_0 + \sqrt{2}v_0 = (1 + \sqrt{2})v_0$
(3)由第
(2)问分析可知小球在撤去电场后做匀速圆周运动的分运动轨迹如图丙所示
　　　
根据$q\sqrt{2}v_0B = m\frac{(\sqrt{2}v_0)^2}{R}$，又$T = \frac{2\pi R}{\sqrt{2}v_0}$
由几何关系，可得小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时圆弧轨迹对应的圆心角为$135°$，则所用时间为$t = \frac{135°}{360°}T$
联立解得$t = \frac{3\pi v_0}{4g}$。

【例 2】
（2025·福建宁德市开学考）现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动，如图所示，真空中存在着多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，宽度均为 $ d $，电场强度为 $ E $，方向水平向右；磁感应强度为 $ B $，方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。一个质量为 $ m $、电荷量为 $ q $ 的带正电粒子在第 1 层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。粒子从第 $ n $ 层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为 $ \theta_n $，试求 $ \sin\theta_n $。$B\sqrt{\frac{nqd}{2mE}}$

提醒：完成作业 第十一章 第 64 练

答案：
例2　$B\sqrt{\frac{nqd}{2mE}}$
解析　设粒子在第$n$层磁场中运动的速度为$v_n$，在电场中，根据动能定理有$nqdE = \frac{1}{2}mv_n^2$，解得$v_n = \sqrt{\frac{2nqdE}{m}}$
在磁场中由动量定理有$qv_nB\Delta t = m\Delta v_y$，即$q\Delta xB = m\Delta v_y$
两边累加得$qxB = mv_y$，其中$x$为在磁场中的水平位移，$x = nd$
联立得$v_y = \frac{nqdB}{m}$，$\sin\theta_n = \frac{v_y}{v_n}$
得：$\sin\theta_n = B\sqrt{\frac{nqd}{2mE}}$。