《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例2】
（2025·云南昆明市检测）如图所示，传送带与水平地面的夹角 $ \theta = 37° $，从 $ A $ 到 $ B $ 的长度为 $ L = 10.25 \, m $，传送带以 $ v_0 = 10 \, m/s $ 的速率逆时针转动。在传送带上端 $ A $ 无初速度释放一个质量为 $ m = 0.5 \, kg $ 的黑色煤块（可视为质点），它与传送带之间的动摩擦因数为 $ \mu = 0.5 $，煤块在传送带上经过会留下黑色痕迹。已知 $ \sin 37° = 0.6 $，$ g $ 取 $ 10 \, m/s^2 $。
（1）当煤块与传送带速度相同时，接下来它们能否相对静止；
（2）求出煤块从 $ A $ 运动到 $ B $ 的时间，并试画出煤块的 $ v - t $ 图像；
（3）求煤块从 $ A $ 到 $ B $ 的过程中在传送带上留下痕迹的长度。
拓展
若煤块和传送带之间的动摩擦因数为 $ 0.75 $，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求煤块从 $ A $ 运动至 $ B $ 的时间。

答案：
（1）不能　（2）1.5s　见解析图
(3)5m
解析　
(1)由于$mg\sin37^{\circ} ＞ \mu mg\cos37^{\circ}$，所以煤块与传送带速度相同后，它们不能相对静止。
(2)煤块刚放上时，受到沿斜面向下的摩擦力，其加速度为$a_{1} = g(\sin\theta + \mu\cos\theta) = 10m/s^{2}$，
煤块加速运动至与传送带速度相同时需要的时间$t_{1} = \frac{v_{0}}{a_{1}} = 1s$，发生的位移$x_{1} = \frac{1}{2}a_{1}t_{1}^{2} = 5m$
煤块速度达到$v_{0}$后，加速度大小改变，继续沿传送带向下加速运动，则有$a_{2} = g(\sin\theta - \mu\cos\theta) = 2m/s^{2}$，
$x_{2} = L - x_{1} = 5.25m$，
由$x_{2} = v_{0}t_{2} + \frac{1}{2}a_{2}t_{2}^{2}$，

得$t_{2} = 0.5s$
故煤块从A运动到B的时间为$t = t_{1} + t_{2} = 1.5s$。$v - t$图像如图所示。
(3)第一过程痕迹长$\Delta x_{1} = v_{0}t_{1} - x_{1} = 5m$，
第二过程痕迹长$\Delta x_{2} = x_{2} - v_{0}t_{2} = 0.25m$，
$x_{2}$与$\Delta x_{1}$部分重合，
故痕迹总长为5m。
拓展　1.441s
解析　由于$f = \mu'N = \mu'mg\cos\theta = mg\sin\theta$
即最大静摩擦力等于煤块重力沿传送带向下的分力，故煤块和传送带达到共速后将做匀速直线运动，所以煤块先做匀加速直线运动，后做匀速直线运动。
$a' = g(\sin\theta + \mu'\cos\theta) = 12m/s^{2}$，
匀加速运动时间$t_{1}' = \frac{v_{0}}{a'} = \frac{5}{6}s \approx 0.833s$，
匀加速运动位移$x_{1}' = \frac{1}{2}a't_{1}'^{2} = \frac{25}{6}m$，
匀速运动位移$x_{2}' = L - x_{1}' \approx 6.08m$
匀速运动时间$t_{2}' = \frac{x_{2}'}{v_{0}} = \frac{6.08}{10}s = 0.608s$
总时间$t' = t_{1}' + t_{2}' = 1.441s$。