《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例3】
2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域，实现世界首次月球背面采样返回。嫦娥六号返回器从月球归来初入大气层时的速度可以接近第二宇宙速度，为避免高速带来的高温过载风险，采用了“半弹道跳跃式返回”减速技术。如图所示，返回器从 $ a $ 点第一次进入大气层，调整返回器姿态，使其经 $ b $ 点升高，再从 $ c $ 点“跳”出大气层，在太空中潇洒地打个“水漂”，升高到距地面高度为 $ h $ 的 $ d $ 点后，再次从 $ e $ 点进入大气层返回地球。假设返回器从 $ c $ 点到 $ e $ 点的过程为无动力飞行。已知地球表面重力加速度为 $ g $，地球的半径为 $ R $，引力常量为 $ G $。结合以上信息，下列说法正确的是(C)


A.从 $ a $ 点到 $ c $ 点的过程中，返回器机械能守恒
B.在 $ d $ 点，返回器的速度大于第一宇宙速度
C.在 $ d $ 点，返回器的加速度大小为 $ \frac{gR^{2}}{(R + h)^{2}} $
D.在 $ e $ 点返回器处于超重状态

答案： 例3 C [嫦娥六号返回器从a点到c点的过程中，空气阻力做功，机械能不守恒，A错误；嫦娥六号返回器经过d点后做近心运动，有$G\frac{Mm}{(R + h)^{2}} ＞ m\frac{v^{2}}{R + h}$，即$v ＜ \sqrt{\frac{GM}{R + h}}$，又因为第一宇宙速度为$v_{1} = \sqrt{\frac{GM}{R}}$，故$v ＜ v_{1}$，B错误；在d点，由牛顿第二定律有$G\frac{Mm}{(R + h)^{2}} = ma$，又$GM = gR^{2}$，联立可得$a = \frac{gR^{2}}{(R + h)^{2}}$，C正确；在e点返回器加速度方向向下的分量，故返回器处于失重状态，D错误。]

1. 双星模型
(1) 绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。

(2) 特点
① 各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 $ \frac{Gm_{1}m_{2}}{L^{2}} = m_{1}\omega_{1}^{2}r_{1} $，$ \frac{Gm_{1}m_{2}}{L^{2}} = m_{2}\omega_{2}^{2}r_{2} $。
② 两星的周期、角速度相同，即 $ T_{1} = T_{2} $，$ \omega_{1} = \omega_{2} $。
③ 两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为 $ r_{1} + r_{2} = L $。

答案： 双星系统相关结论见解析。

(1) 若两星运行的线速度大小分别为 $ v_{1} $、$ v_{2} $，加速度大小分别为 $ a_{1} $、$ a_{2} $，质量分别为 $ m_{1} $、$ m_{2} $，则 $ v $、$ a $ 与轨道半径 $ r $、两星质量的关系怎样？
(2) 两星之间的距离 $ L $、周期 $ T $ 与总质量 $ (m_{1} + m_{2}) $ 的关系怎样？

答案：
(1) 对双星系统，角速度ω相同，万有引力提供向心力，有$G\frac{m_1m_2}{L^2}=m_1ω^2r_1=m_2ω^2r_2$，得$m_1r_1=m_2r_2$，即$\frac{r_1}{r_2}=\frac{m_2}{m_1}$。
线速度$v=ωr$，故$\frac{v_1}{v_2}=\frac{r_1}{r_2}=\frac{m_2}{m_1}$；
加速度$a=ω^2r$，故$\frac{a_1}{a_2}=\frac{r_1}{r_2}=\frac{m_2}{m_1}$。
(2) 由$G\frac{m_1m_2}{L^2}=m_1(\frac{2π}{T})^2r_1$和$G\frac{m_1m_2}{L^2}=m_2(\frac{2π}{T})^2r_2$，两式相加得$G\frac{m_1+m_2}{L^2}=(\frac{2π}{T})^2(r_1+r_2)$，因$r_1+r_2=L$，整理得$m_1+m_2=\frac{4π^2L^3}{GT^2}$。
$\frac{v_1}{v_2}=\frac{r_1}{r_2}=\frac{m_2}{m_1}$；$\frac{a_1}{a_2}=\frac{r_1}{r_2}=\frac{m_2}{m_1}$；$m_1+m_2=\frac{4π^2L^3}{GT^2}$

【例4】
(多选)(2025·河南安阳市开学考)“双星系统”由相距较近的两颗恒星组成，每颗恒星的半径远小于两颗恒星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在相互间的万有引力作用下绕某一点做匀速圆周运动。某一双星系统如图所示，$ A $ 恒星的质量为 $ m_{1} $，$ B $ 恒星的质量为 $ m_{2} $，$ A $ 恒星的轨道半径为 $ r_{1} $，$ B $ 恒星的轨道半径为 $ r_{2} $，$ A $ 恒星的线速度大小为 $ v_{1} $，$ B $ 恒星的线速度大小为 $ v_{2} $，它们中心之间的距离为 $ L $，引力常量为 $ G $。则下列说法正确的是(BD)

A.$ A $ 恒星与 $ B $ 恒星轨道半径大小之比为 $ \frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{m_{1}}{m_{2}} $
B.双星系统的运行周期为 $ 2\pi L\sqrt{\frac{L}{G(m_{1} + m_{2})}} $
C.$ A $ 恒星的轨道半径为 $ \frac{m_{2}}{m_{1}}L $
D.$ A $ 恒星与 $ B $ 恒星线速度大小之比为 $ \frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} $

答案： 例4 BD [对A、B分别由牛顿第二定律得$G\frac{m_{1}m_{2}}{L^{2}} = m_{1}\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r_{1}$，$G\frac{m_{1}m_{2}}{L^{2}} = m_{2}\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r_{2}$，又$L = r_{1} + r_{2}$，联立解得$\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}}$，$T = 2\pi L\sqrt{\frac{L}{G(m_{1} + m_{2})}}$，$r_{1} = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}}L$，故选项A、C错误，B正确；根据$v = \frac{2\pi r}{T}$可得，A恒星与B恒星线速度大小之比为$\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}}$，故选项D正确。]