《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例 2】1932 年，劳伦斯和利文斯顿设计出了回旋加速器。回旋加速器的工作原理如图所示，置于高真空中的$D$形金属盒半径为$R$，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计。磁感应强度为$B$的匀强磁场与盒面垂直。$A$处粒子源产生的粒子，质量为$m$、电荷量为$+q$，在加速器中被加速，加速电压为$U$。不计粒子的重力，加速过程中不考虑相对论效应。

(1)求粒子第$2$次和第$1$次经过两$D$形盒间狭缝后轨道半径之比；$\sqrt{2}:1$
(2)求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间$t$；
(3)实际使用中，磁感应强度和加速电场频率都有最大值的限制。若某一回旋加速器磁感应强度和加速电场频率的最大值分别为$B_m$、$f_m$，试讨论粒子能获得的最大动能$E_{km}$。$\frac{\pi BR^{2}}{2U}$

答案： 例2
(1)$\sqrt{2}:1$
(2)$\frac{\pi BR^{2}}{2U}$
(3)见解析
解析
(1)设粒子第1次经过狭缝后的轨道半径为$r_{1}$，速度为$v_{1}$
$qU = \frac{1}{2}mv_{1}^{2}$
$qv_{1}B = m\frac{v_{1}^{2}}{r_{1}}$
解得$r_{1} = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
同理，粒子第2次经过狭缝后的轨道半径$r_{2} = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{4mU}{q}}$
则$r_{2}:r_{1} = \sqrt{2}:1$
(2)设粒子到出口处被加速了$n$圈
$2nqU = \frac{1}{2}mv^{2}$
$qvB = m\frac{v^{2}}{R}$
$T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$
$t = nT = \frac{\pi BR^{2}}{2U}$
(3)加速电场的频率应等于粒子在磁场中做圆周运动的频率，即$f = \frac{qB}{2\pi m}$
当磁感应强度为$B_{m}$时，加速电场的频率应为
$f_{Bm} = \frac{qB_{m}}{2\pi m}$，粒子的动能$E_{k} = \frac{1}{2}mv^{2}$
两个频率选较小者，作为其共同频率
当$f_{Bm} \leq f_{m}$时，粒子的最大动能由$B_{m}$决定
$qv_{m}B_{m} = m\frac{v_{m}^{2}}{R}$
解得$E_{km} = \frac{1}{2}mv_{m}^{2} = \frac{q^{2}B_{m}^{2}R^{2}}{2m}$
当$f_{Bm} \geq f_{m}$时，粒子的最大动能由$f_{m}$决定
则$v_{m} = 2\pi f_{m}R$
解得$E_{km} = \frac{1}{2}mv_{m}^{2} = 2\pi^{2}m f_{m}^{2}R^{2}$。

1. 速度选择器
(1)平行板中电场强度$E$和磁感应强度$B$互相垂直。(如图)

(2)带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是，即，$v=$。
(3)速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量。
(4)速度选择器具有单向性，改变粒子的入射速度方向，不能实现速度选择功能。

答案： 电场力等于洛伦兹力；$qE = qvB$；$\frac{E}{B}$

2. 磁流体发电机
(1)原理：如图所示，等离子体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚集在$B$、$A$板上，产生电势差，它可以把离子的通过磁场转化为。

(2)电源正、负极判断：根据左手定则可判断出图中的板是发电机的正极。
(3)发电机的电动势：当发电机外电路断路时，正、负离子所受平衡时，两极板间达到的最大电势差为$U$，则$q\frac{U}{d}=qvB$，得$U=$，则电动势$E = U=$。
(4)内阻$r$：若等离子体的电阻率为$\rho$，则发电机的内阻$r=\rho\frac{d}{S}$。

答案：
(1)动能；电能；
(2)B；
(3)洛伦兹力与电场力；Bvd；Bvd