《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例 1】
（2023·辽宁卷·14）如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的$\sqrt{3}$倍。金属板外有一圆心为$O$的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为$B$、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为$m$、电荷量为$q(q\gt0)$的粒子沿中线以速度$v_{0}$水平向右射入两板间，恰好从下板边缘$P$点飞出电场，并沿$PO$方向从图中$O'$点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为$\frac{2mv_{0}}{3qB}$，不计粒子重力。
1. 求金属板间电势差$U$；
2. 求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角$\theta$；$\frac{mv_{0}^{2}}{3q}$$\frac{π}{3}$(或60°)
3. 仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中$O'$点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心$M$。见解析图

答案：
例1　
(1)$\frac{mv_{0}^{2}}{3q}$　
(2)$\frac{π}{3}$(或60°)
(3)见解析图
解析　
(1)设板间距离为d，则板长为$\sqrt{3}$d，带电粒子在板间做类平抛运动，两板间的电场强度为E=$\frac{U}{d}$，根据牛顿第二定律得qE=ma，解得a=$\frac{qU}{md}$
设粒子在平板间的运动时间为$t_{0}$，根据类平抛运动的规律得$\frac{d}{2}$=$\frac{1}{2}$$at_{0}^{2}$，$\sqrt{3}$d=$v_{0}$$t_{0}$
联立解得U=$\frac{mv_{0}^{2}}{3q}$
(2)设粒子出电场时与水平方向夹角为α，则有
tanα=$\frac{at_{0}}{v_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故α=$\frac{π}{6}$
则出电场时粒子的速度为
v=$\frac{v_{0}}{cosα}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$v_{0}$
粒子出电场后做匀速直线运动，接着进入磁场，根据牛顿第二定律有qvB =m$\frac{v^{2}}{r}$，解得r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{2\sqrt{3}mv_{0}}{3qB}$
已知圆形磁场区域半径为R=$\frac{2mv_{0}}{3qB}$，故r=$\sqrt{3}$R
粒子沿PO方向射入磁场，轨迹如图所示，即沿半径方向射入磁场，故粒子将沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向的夹角为θ，则粒子在磁场中运动圆弧轨迹对应的圆心角也为θ，由几何关系可得θ=2α=$\frac{π}{3}$，故粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向的夹角为$\frac{π}{3}$(或60°)；
(3)粒子在该磁场中运动的半径与圆形磁场半径关系为r =$\sqrt{3}$R，根据几何关系可知，粒子在该磁场中运动的轨迹一定为劣弧，故劣弧所对应轨迹圆的弦为磁场圆的直径时粒子在磁场中运动的时间最长，则相对应的运动轨迹以及圆心M的位置如图所示。

【例 2】
（2025·福建泉州市一模）利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。在图示的$xOy$平面（纸面）内，$x\lt x_{1}$的区域Ⅰ内存在垂直纸面向外的匀强磁场，$x$轴上方的$x_{1}\lt x\lt x_{2}$区域Ⅱ内存在沿$y$轴负方向的匀强电场。一质量为$m$、电荷量为$q$的带正电粒子（不计重力），从原点$O$处以大小为$v_{0}$的速度垂直磁场射入第二象限，方向与$x$轴负方向夹角$\theta = 60^{\circ}$，一段时间后垂直$x = x_{1}$虚线边界进入电场。已知$x_{1}=\sqrt{3}L$，$x_{2}=\frac{7\sqrt{3}}{3}L$，区域Ⅱ中电场的电场强度$E=\frac{mv_{0}^{2}}{4qL}$。求：
1. 区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小$B$；$\frac{mv_{0}}{2qL}$
2. 粒子从原点$O$出发到离开电场的总时间$t$；
3. 粒子离开电场时的速度大小$v$。$\frac{2\sqrt{3}}{3}v_{0}$

答案：
例2　
(1)$\frac{mv_{0}}{2qL}$　
(2)$\frac{4(π+\sqrt{3})L}{3v_{0}}$
(3)$\frac{2\sqrt{3}}{3}v_{0}$
解析
(1)区域Ⅰ内粒子在洛伦兹力作用下做圆周运动，设圆周运动的半径为R，由几何关系可得Rsinθ=$\sqrt{3}$L
解得R=2L
又$qv_{0}B=m\frac{v_{0}^{2}}{R}$
解得区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小B=$\frac{mv_{0}}{2qL}$
(2)粒子在磁场中运动圆轨迹所对的圆心角为120°，在磁场中运动时间设为$t_{1}$，
则$t_{1}$=$\frac{120}{360°}$T
其中T=$\frac{2πR}{v_{0}}$
粒子在电场中做类平抛运动，设该粒子的加速度大小为a，在电场中运动时间为$t_{2}$，沿y轴负方向运动的距离为h，则有qE=ma
$x_{2}-x_{1}=v_{0}t_{2}$
解得$t_{2}$=$\frac{4\sqrt{3}L}{3v_{0}}$
其中h=$\frac{1}{2}$$at_{2}^{2}$
解得h=$\frac{2L}{3}$
由于h＜R+Rcosθ=3L
粒子从电场边界离开，则总时间t=$t_{1}$ +$t_{2}$
解得t=$\frac{4(π+\sqrt{3})L}{3v_{0}}$
(3)由动能定理得
qEh=$\frac{1}{2}$$mv^{2}$−$\frac{1}{2}$$mv_{0}^{2}$
解得v=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$v_{0}$