《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例1】(2025·河北张家口市检测)半圆圆柱体P放在粗糙的水平地面上,其右端有一固定放置的竖直挡板MN。在半圆圆柱体P和MN之间放有一个光滑的均匀小圆柱体Q,整个装置处于平衡状态,如图所示是这个装置的纵截面图。现使MN保持竖直并且缓慢地向右平移,在Q滑落到地面之前,发现P始终保持静止。则在此过程中,下列说法中正确的是(B)


A.MN对Q的弹力逐渐减小
B.地面对P的摩擦力逐渐增大
C.P、Q间的弹力先减小后增大
D.Q所受的合力逐渐增大

答案：
例1　B　[对Q受力分析，$F_1$表示P对Q的弹力，$F_2$表示MN对Q的弹力，$F_2$的方向水平向左保持不变，$F_1$的方向顺时针旋转，如图所示
由平行四边形的边长变化可知，$F_1$与$F_2$都逐渐增大，故A、C错误；对P、Q整体受力分析，由平衡条件得，$f = F_2$，由于$F_2$不断增大，故f不断增大，故B正确；由于挡板MN缓慢移动，Q处于平衡状态，所受合力为零，故D错误。]

2. “一力恒定,另两力方向均变化”的动态平衡问题

一力恒定(如重力),其他二力的方向均变化,但二力分别与绳子、两物体重心连线方向平行,即三力构成的矢量三角形与$\triangle ACO$几何三角形相似,则对应边比值相等。
基本矢量图,如图所示
基本关系式:$\frac{mg}{H}=\frac{N}{R + r}=\frac{T}{L}$。

答案： $\frac{mg}{H}=\frac{N}{R + r}=\frac{T}{L}$

【例2】(2025·江苏苏州市调研)如图所示为一简易起重装置,AC是上端带有小滑轮的固定支架,BC为质量不计的轻杆,杆的一端C用铰链固定在支架上,另一端B悬挂一个质量为m的重物,并用轻质钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。开始时,杆BC与AC的夹角$\angle BCA＞90^{\circ}$,现使$\angle BCA$缓慢变小,直到$\angle BCA = 30^{\circ}$(不计一切阻力)。在此过程中,杆BC所产生的弹力(A)

A.大小不变
B.逐渐增大
C.先增大后减小
D.先减小后增大

答案：
例2　A　[以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，G、N的合力$F_{合}$与F大小相等、方向相反。
根据三角形相似得$\frac{G}{AC}=\frac{F_{合}}{AB}=\frac{N}{BC}$，得$N = \frac{BC}{AC}G$
∠BCA缓慢变小的过程中，AC、BC不变，则N不变，故杆BC所产生的弹力大小不变，故选A。]

3. 一力恒定,另外两力方向均变化,但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题
利用正弦定理或利用辅助圆,恒力为圆的一条弦,恒力所对应角的顶点在圆上移动,可保持圆心角不变,根据不同位置判断各力的大小变化。

答案： （根据具体题目选项选择，此处以方法总结为例，实际需结合题目条件判断力的大小变化趋势或极值）

【例3】(多选)(2025·福建宁德市检测)如图,柔软轻绳ON的一端O固定,其中间某点M拴一重物,用手拉住绳的另一端N。初始时,OM竖直且MN被拉直,OM与MN之间的夹角为$\alpha(\alpha＞\frac{\pi}{2})$。现将重物向右上方缓慢拉起,并保持夹角$\alpha$不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(AD)

A.MN上的张力逐渐增大
B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大
D.OM上的张力先增大后减小

答案：
例3　AD　[法一:以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力$F_2$、MN上拉力$F_1$。
由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，$F_1$、$F_2$的夹角不变，在$F_2$转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力$F_1$逐渐增大，OM上的张力$F_2$先增大后减小，所以A、D正确，B、C错误。
法二:正弦定理
根据正弦定理$\frac{mg}{\sin\theta_3}=\frac{F_1}{\sin\theta_1}=\frac{F_2}{\sin\theta_2}$，$\frac{mg}{\sin\theta_3}$与$\sin\theta_3$保持不变，$\sin\theta_1$变大，$F_1$变大，$\sin\theta_2$先增大后减小，$F_2$先增大后减小，故选A、D。]

1. 临界问题
当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类:
(1)由静止到运动,摩擦力达到最大静摩擦力。
(2)绳子恰好伸直,拉力$F = 0$。
(3)刚好离开接触面,支持力$F_{N}=0$。

答案： 答题卡：
1. 临界问题分析：
(1) 当物体由静止到运动时，摩擦力达到最大静摩擦力。设物体与接触面间的动摩擦因数为$\mu$，正压力为$N$，则最大静摩擦力为：
$f_{max} = \mu N$
当外力$F$等于最大静摩擦力时，物体将开始运动，即：
$F = f_{max} = \mu N$
(2) 当绳子恰好伸直时，其拉力$F$为0，即绳子处于不受力状态，但即将开始受力。
(3) 当物体刚好离开接触面时，支持力$F_{N}$为0。此时，物体与接触面间的相互作用力消失，物体处于即将脱离接触面的状态。

2. 极值问题
平衡中的极值问题,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。

答案： 答题卡：
题目：解决平衡中的极值问题（一般指力的变化过程中的最大值和最小值问题）。
解：假设在物理平衡问题中，物体受多个力作用，其中一个力（如拉力或支持力）的大小在变化，需要求该力或相关力的最大值和最小值。
设物体受到三个力$F_1$，$F_2$和$F_3$作用，且处于平衡状态。其中$F_1$和$F_2$的夹角为$\theta$，且$F_1$和$F_2$的大小不变，$F_3$的大小可以变化。
根据平衡条件，有：
$\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = 0$；
将上式投影到$F_1$和$F_2$所在的平面，可以得到两个标量方程。为了简化，假设$F_1$和$F_2$分别沿$x$轴和$y$轴方向，则：
$F_{3x} = -(F_1 + F_2 \cos\theta)$；
$F_{3y} = -F_2 \sin\theta$；
$F_3$的大小为：
$F_3 = \sqrt{F_{3x}^2 + F_{3y}^2} = \sqrt{(F_1 + F_2 \cos\theta)^2 + (F_2 \sin\theta)^2}$；
为了找到$F_3$的最大值和最小值，对$F_3$的表达式求导，并令导数为0，解得：
当$\cos\theta = -1$时（即$\theta = 180°$），若$F_1$和$F_2$方向相反且$F_2$的幅值足够大，则$F_3$达到最大值$F_1 + F_2$（假设$F_2 \geq F_1$，否则最大值为$F_2 + F_1$的另一种情况已隐含）；
当$\cos\theta = 1$时（即$\theta = 0°$），$F_3$达到最小值$|F_1 - F_2|$。
结论：
在平衡状态中，当两个不变力的夹角为$180°$时，可变力$F_3$达到最大值，为两不变力之和；
当夹角为$0°$时，可变力$F_3$达到最小值，为两不变力之差（的绝对值）。

3. 解题方法
(1)极限法:首先要正确地进行受力分析和过程分析,把某个物理量推向极端(极大或极小),从而找出平衡的临界点和极值点。
(2)数学分析法:根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
(3)物理分析方法:根据物体的平衡条件,作出力的矢量图,利用平行四边形定则进行动态分析,确定最大值与最小值。

答案： 假设题目：如图，一个重为G的物体，用水平力F将其压在竖直墙上保持静止状态，求水平力F的最小值。
解答：
1. 对物体进行受力分析，物体受重力$G$、水平力$F$、墙对物体的支持力$N$和摩擦力$f$。
2. 根据竖直方向平衡条件$f = G$，又因为$f\leqslant\mu N$，且$N = F$，所以$G\leqslant\mu F$。
3. 由$G\leqslant\mu F$可得$F\geqslant\frac{G}{\mu}$，则水平力$F$的最小值为$\frac{G}{\mu}$。
故答案为：$\frac{G}{\mu}$。