《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

1.“单棒+电阻”模型
(1)水平放置的平行光滑导轨，
间距为$L$，左侧接有电阻阻值为$R$，导体棒初速度为$v_0$，质量为$m$，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为$B$，导轨足够长且电阻不计，从导体棒开始运动至停下来。求：
①此过程中通过导体棒横截面的电荷量$q=$；
②此过程导体棒的位移$x=$；
③若导体棒从获得初速度$v_0$经一段时间减速至$v_1$，通过导体棒的电荷量为$q_1$，则$v_1=$；
④导体棒从获得初速度$v_0$。经过位移$x_0$，速度减至$v_2$，则$v_2=$。
(2)间距为$L$的光滑平行导轨倾斜放置，倾角为$\theta$，由静止释放质量为
$m$、接入电路的阻值为$R$的导体棒，匀强磁场的磁感应强度为$B$，方向垂直导轨所在倾斜面向下(重力加速度为$g$，导轨电阻不计)。
①经$\Delta t_1=$，通过横截面的电荷量为$q$，速度达到$v_1$。
②经$\Delta t_2=$，导体棒下滑位移为$x$，速度达到$v_2$。

答案：
(1)①$\frac{mv_0}{BL}$ ②$\frac{mv_0R}{B^2L^2}$ ③$v_0 - \frac{BLq_1}{m}$ ④$v_0 - \frac{B^2L^2x_0}{mR}$
(2)①$\frac{mv_1 + BLq}{mgsin\theta}$ ②$\frac{mv_2 + \frac{B^2L^2x}{R}}{mgsin\theta}$

【例1】(多选)(2025·云南省调研)如图所示，水平面上固定放置有“$ㄇ$”形光滑金属导
轨，平行的两边宽度为$L$。虚
线$MN$右侧存在方向垂直于导轨平面的匀强
磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为$B$，磁场
的区域足够大。质量为$m$、电阻为$R$、长度也为
$L$的金属棒垂直于导轨放置，以初速度$v_0$沿导
轨进入匀强磁场区域，最终静止。金属棒与导
轨始终垂直且接触良好，不计金属导轨电阻，则
(AC)
A. 金属棒刚进入磁场时受到的安培力大小为$\frac{B^2L^2v_0}{R}$
B. 金属棒在磁场中运动的时间为$\frac{2mR}{B^2L^2}$
C. 金属棒在磁场中运动的距离为$\frac{mv_0R}{B^2L^2}$
D. 流过金属棒横截面的总电荷量为$\frac{2mv_0}{BL}$

答案： 例1 AC 根据题意可知，金属棒刚进入磁场时，感应电动势为$E = BLv_{0}$，通过金属棒的感应电流为$I = \frac{E}{R} = \frac{BLv_{0}}{R}$，金属棒刚进入磁场时受到的安培力大小为$F = BIL = \frac{B^{2}L^{2}v_{0}}{R}$，故A正确；设金属棒在磁场中运动的距离为$x$，由动量定理有$- F\Delta t = - BIL \cdot \Delta t = 0 - mv_{0}$，其中$q = \overline{I} \cdot \Delta t = \frac{\Delta\Phi}{R} = \frac{BLx}{R}$，则有$\frac{B^{2}L^{2}x}{R} = mv_{0}$，解得金属棒在磁场中运动的距离为$x = \frac{mv_{0}R}{B^{2}L^{2}}$，流过金属棒横截面的总电荷量为$q = \frac{mv_{0}}{BL}$，若金属棒做匀减速运动，则有$x = \frac{v_{0}}{2}t$，解得$t = \frac{2mR}{B^{2}L^{2}}$，由于金属棒做加速度减小的减速运动，所以金属棒在磁场中运动的时间不等于$\frac{2mR}{B^{2}L^{2}}$，故B、D错误，C正确。

2. 不等间距的双棒模型

答案： 由于题目信息不完整，无法进行解析和解答。请提供完整的题目内容（如具体问题、已知条件等）以便进行处理。

【例2】(多选)如图所示，$M$、$N$、$P$、$Q$四条光滑的
足够长的金属导轨平行放置，导轨间距分别为$2L$和$L$，两组导轨间由导线相连，装置置于水
平面内，导轨间存在方向竖直向下的、磁感应强
度大小为$B$的匀强磁场，两根质量均为$m$、接
入电路的电阻均为$R$的导体棒$C$、$D$分别垂直
于导轨放置，且均处于静止状态，其余部分电阻
不计。$t=0$时使导体棒$C$获得瞬时速度$v_0$。向
右运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂
直并与导轨接触良好，且达到稳定运动时导体
棒$C$未到两组导轨连接处，则下列说法正确
的是 (ACD)

A.$t=0$时，导体棒$D$的加速度大小为$a=\frac{B^2L^2v_0}{mR}$
B. 达到稳定运动时，$C$、$D$两棒速度之比为$1:1$
C. 从$t=0$时至达到稳定运动的过程中，回路产
生的内能为$\frac{2}{5}mv_0^2$
D. 从$t=0$时到达到稳定运动的过程中，通过导
体棒的电荷量为$\frac{2mv_0}{5BL}$

答案： 例2 ACD 开始时，导体棒中的感应电动势$E = 2BLv_{0}$，电路中感应电流$I = \frac{E}{2R}$，导体棒D所受安培力$F = BIL$，设导体棒D的加速度为$a$，则有$F = ma$，解得$a = \frac{B^{2}L^{2}v_{0}}{mR}$，故A正确；稳定运动时，电路中电流为零，设此时C、D棒的速度分别为$v_{1}$、$v_{2}$，则有$2BLv_{1} = BLv_{2}$，对变速运动中任意极短时间$\Delta t$，由动量定理得，对C棒有$2BIL\Delta t = m(v_{0} - v_{1})$，对D棒有$BIL\Delta t = mv_{2}$，故对变速运动全过程有$v_{0} - v_{1} = 2v_{2}$，解得$v_{2} = \frac{2}{5}v_{0}$，$v_{1} = \frac{1}{5}v_{0}$，故B错误；根据能量守恒定律可知回路产生的内能为$Q = \frac{1}{2}mv_{0}^{2} - \frac{1}{2}m{v_{1}}^{2} - \frac{1}{2}m{v_{2}}^{2}$，解得$Q = \frac{2}{5}m{v_{0}}^{2}$，故C正确；由动量定理，对C棒有$2B\overline{I}L\Delta t = m(v_{0} - v_{1})$，可得$2BLq = m(v_{0} - v_{1})$，解得$q = \frac{2mv_{0}}{5BL}$，故D正确。