《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例5】
(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可以忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图所示)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 $ R $ 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为 $ M $，并设两种系统的运动周期相同，则(BC)


A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B.直线三星系统的运动周期 $ T = 4\pi R\sqrt{\frac{R}{5GM}} $
C.三角形三星系统中星体间的距离 $ L = \sqrt[3]{\frac{12}{5}}R $
D.三角形三星系统的线速度大小为 $ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{5GM}{R}} $

答案： 例5 BC [直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，A错误；直线三星系统中，对甲星（或丙星）有$G\frac{M^{2}}{R^{2}} + G\frac{M^{2}}{(2R)^{2}} = M\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}R$，解得$T = 4\pi R\sqrt{\frac{R}{5GM}}$，B正确；对三角形三星系统，根据万有引力定律和牛顿第二定律得$2G\frac{M^{2}}{L^{2}}\cos 30^{\circ} = M\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}\cdot\frac{L}{2\cos 30^{\circ}}$，联立解得$L = \sqrt[3]{\frac{12}{5}}R$，C正确；三角形三星系统的线速度大小为$v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi\cdot\frac{L}{2\cos 30^{\circ}}}{T}$，联立解得$v = \frac{\sqrt{3}}{6}\cdot\sqrt[3]{\frac{12}{5}}\sqrt{\frac{5GM}{R}}$，D错误。]

1. 星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即 $ \frac{GMm}{R^{2}} = m\omega^{2}R $，得 $ \omega = \sqrt{\frac{GM}{R^{3}}} $。当 $ \omega ＞ \sqrt{\frac{GM}{R^{3}}} $ 时，星球瓦解，当 $ \omega ＜ \sqrt{\frac{GM}{R^{3}}} $ 时，星球稳定运行。

答案： 无（本题并非选择题，不存在ABCD选项答案）

2. 黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的 $ \sqrt{2} $ 倍)超过光速时，该天体就是黑洞。

答案： （由于题目未给出选项，此题主要推导黑洞条件，若为填空题答案如下）$R \lt \frac{2GM}{c^2}$

【例6】
2018年2月，我国500m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期 $ T = 5.19\,ms $。假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为 $ 6.67 × 10^{-11}\,N \cdot m^{2}/kg^{2} $。以周期 $ T $ 稳定自转的星体的密度最小值约为(C)

A.$ 5 × 10^{9}\,kg/m^{3} $
B.$ 5 × 10^{12}\,kg/m^{3} $
C.$ 5 × 10^{15}\,kg/m^{3} $
D.$ 5 × 10^{18}\,kg/m^{3} $

答案： 例6 C [毫秒脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有$G\frac{Mm}{r^{2}} \geqslant m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}$，又知$M = \rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}$，整理得密度$\rho \geqslant \frac{3\pi}{GT^{2}} = \frac{3×3.14}{6.67×10^{-11}×(5.19×10^{-3})^{2}} kg/m^{3} \approx 5.2×10^{15} kg/m^{3}$，故选C。]

【例7】
科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的 $ \sqrt{2} $ 倍)大于光速时，该天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为 $ k $，地球的半径为 $ R $，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为 $ v_{1} $，光速为 $ c $，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于(D)

A.$ \frac{2v_{1}^{2}R}{kc^{2}} $
B.$ \frac{2kc^{2}R}{v_{1}^{2}} $
C.$ \frac{kv_{1}^{2}R}{2c^{2}} $
D.$ \frac{2kv_{1}^{2}R}{c^{2}} $
提醒：完成作业 第五章 第25练

答案： 例7 D [地球的第一宇宙速度为$v_{1} = \sqrt{\frac{GM}{R}}$，则黑洞的第一宇宙速度为$v_{2} = \sqrt{\frac{GkM}{r}}$，并且有$\sqrt{2}v_{2} ＞ c$，联立解得$r ＜ \frac{2kv_{1}^{2}R}{c^{2}}$，所以D正确，A、B、C错误。] 提醒：完成作业 第五章 第25练