《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

1. 作用
测量带电粒子的质量和分离同位素。

答案： 在质谱仪中：
1.带电粒子在匀强磁场中，由洛伦兹力提供向心力，$qvB = m\frac{v^{2}}{R}$，可得$m=\frac{qBR}{v}$。通过测量粒子运动的轨道半径$R$，结合已知的$q$、$B$和测量的$v$（或由其他方式得到与$v$相关的量来间接计算），就可以测量带电粒子的质量。
2.同位素的电荷量$q$相同，在相同的磁场$B$中，根据$R = \frac{mv}{qB}$，质量$m$不同的同位素，在一定的速度$v$下，运动的轨道半径$R$不同，从而可以分离同位素。

2. 原理(如图所示)

(1)加速电场：$qU=$；
(2)偏转磁场：$qvB=$，$l = 2r$；
由以上式子可得$r=$，$m=$，$\frac{q}{m}=$。

答案：
(1) 加速电场：$qU = \frac{1}{2}mv^2$；
(2)偏转磁场：$qvB = \frac{mv^2}{r}$，$l = 2r$（$l$为轨迹对应的弦长）；
由$qU = \frac{1}{2}mv^2$可得$v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}$，将其代入$qvB = \frac{mv^2}{r}$中，$qB\sqrt{\frac{2qU}{m}}=\frac{m\cdot2qU}{m r}$，化简可得$r = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
因为$l = 2r$，所以$l = \frac{2}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$，等式两边同时平方可得$l^{2}=\frac{4}{B^{2}}\cdot\frac{2mU}{q}$，进一步变形可得$m = \frac{qB^{2}l^{2}}{8U}$；
由$m = \frac{qB^{2}l^{2}}{8U}$，可得$\frac{q}{m}=\frac{8U}{B^{2}l^{2}}$。
故答案为：$\frac{1}{2}mv^{2}$；$\frac{mv^{2}}{r}$；$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$（或$\frac{\sqrt{2mU}}{B\sqrt{q}}$ ）；$\frac{qB^{2}l^{2}}{8U}$；$\frac{8U}{B^{2}l^{2}}$。

【例 1】如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压$U$加速后在纸面内水平向右运动，自$M$点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为$v_1$，并在磁场边界的$N$点射出；乙种离子在$MN$的中点射出；$MN$长为$l$。不计重力影响和离子间的相互作用。求：

(1)磁场的磁感应强度大小；
(2)甲、乙两种离子的比荷之比。$q_{1}U = \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}$$q_{1}v_{1}B = m_{1}\frac{v_{1}^{2}}{R_{1}}$$2R_{1} = l$$B = \frac{4U}{lv_{1}}$$q_{2}U = \frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}$$q_{2}v_{2}B = m_{2}\frac{v_{2}^{2}}{R_{2}}$$2R_{2} = \frac{l}{2}$$\frac{q_{1}}{m_{1}}:\frac{q_{2}}{m_{2}} = 1:4$

答案： 例1
(1)$\frac{4U}{lv_{1}}$
(2)1:4
解析
(1)设甲种离子所带电荷量为$q_{1}$、质量为$m_{1}$，在磁场中做匀速圆周运动的半径为$R_{1}$，磁场的磁感应强度大小为$B$，由动能定理有
$q_{1}U = \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}$ ①
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
$q_{1}v_{1}B = m_{1}\frac{v_{1}^{2}}{R_{1}}$ ②
由几何关系知
$2R_{1} = l$ ③
由①②③式得
$B = \frac{4U}{lv_{1}}$ ④
(2)设乙种离子所带电荷量为$q_{2}$、质量为$m_{2}$，射入磁场的速度为$v_{2}$，在磁场中做匀速圆周运动的半径为$R_{2}$。
同理有$q_{2}U = \frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}$ ⑤
$q_{2}v_{2}B = m_{2}\frac{v_{2}^{2}}{R_{2}}$ ⑥
由题给条件有$2R_{2} = \frac{l}{2}$ ⑦
由①②③⑤⑥⑦式得，甲、乙两种离子的比荷之比为$\frac{q_{1}}{m_{1}}:\frac{q_{2}}{m_{2}} = 1:4$。

1. 构造
如图所示，$D_1$、$D_2$是半圆金属盒，$D$形盒处于匀强磁场中，$D$形盒的缝隙处接交流电源。

答案： 该装置为回旋加速器的相关构造图，以下是其构造和原理的作答：
1. 主要构造：
包括两个半圆金属盒$D_1$、$D_2$，它们构成$D$形盒。
$D$形盒处于匀强磁场中，磁场方向垂直于$D$形盒的底面。
$D$形盒的缝隙处接交流电源，用于给粒子加速。
2. 工作原理：
粒子在$D$形盒内的匀强磁场中做匀速圆周运动，其向心力由洛伦兹力提供，根据$qvB = m\frac{v^{2}}{r}$，可得$r=\frac{mv}{qB}$。
粒子每经过一次缝隙，在交流电场的作用下被加速一次，动能增加。
随着粒子速度$v$的增大，粒子做圆周运动的半径$r$逐渐增大，最终在达到$D$形盒的边缘时被引出，用于轰击其他原子核或进行其他应用。
综上，回旋加速器通过磁场使粒子做圆周运动，通过电场对粒子进行加速，从而获得高能粒子。

2. 原理
交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次$D$形盒缝隙就被加速一次。

答案： 答题卡：
解题过程：
交流电周期$T_{电}$与粒子在磁场中做圆周运动的周期$T_{粒}$相等是回旋加速器正常工作的关键条件。
设$D$形盒所处磁场磁感应强度为$B$，粒子电荷量为$q$，质量为$m$，根据洛伦兹力提供向心力$qvB = m\frac{v^{2}}{R}$，可得粒子做圆周运动的周期$T_{粒}=\frac{2\pi m}{qB}$。
当交流电周期$T_{电}=T_{粒}=\frac{2\pi m}{qB}$时，粒子每经过一次$D$形盒缝隙，交流电的方向刚好改变一次，从而使粒子每次经过缝隙时都能被加速。
结论：回旋加速器利用交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等这一原理，使粒子每经过一次$D$形盒缝隙就被加速一次。

3. 最大动能
由$qv_mB=\frac{mv_m^2}{R}$、$E_{km}=\frac{1}{2}mv_m^2$得$E_{km}=$，粒子获得的最大动能由和决定，与加速电压。

答案： $\frac{q^{2}B^{2}R^{2}}{2m}$；$B$（磁感应强度）；$R$（D 形盒半径）；无关。

4. 运动时间的计算
(1)粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能$qU$，加速次数$n=\frac{E_{km}}{qU}$，粒子在磁场中运动的总时间$t_1=\frac{n}{2}T=\frac{E_{km}}{2qU}\cdot\frac{2\pi m}{qB}=$。
(2)粒子在各狭缝中的运动连在一起为匀加速直线运动，运动时间为$t_2=\frac{v_m}{a}=$。(缝隙宽度为$d$)
(3)粒子运动的总时间$t = t_1 + t_2=$。

答案：
(1) $\frac{\pi m E_{km}}{q^2 U B}$
(2) $\frac{d \sqrt{2 m E_{km}}}{q U}$
(3) $\frac{\pi m E_{km}}{q^2 U B} + \frac{d \sqrt{2 m E_{km}}}{q U}$