《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

[变式]
在例 2 中，若两金属板间距为 $3d$。在 $P$ 板下方 $2d$ 处有一水平放置的金属网 $G$，$G$ 接地。带电粒子自 $G$ 的左端上方距离 $G$ 为 $d$ 的位置，以速度 $v_0$ 平行于纸面水平射入电场，粒子穿越金属网过程中与金属网不接触，其他条件不变。求：
(1) 粒子第一次到达 $G$ 所需的时间 $t$；
(2) 粒子穿过 $G$ 后距 $Q$ 板的最近距离 $y$；
(3) 若粒子恰好沿水平方向飞离电场，求金属板的长度 $L$。$2d \sqrt{\frac{m}{q\varphi}}$$\frac{1}{2}d$

答案： [变式]
(1)$2d \sqrt{\frac{m}{q\varphi}}$
(2)$\frac{1}{2}d$
(3)$3nv_0d \sqrt{\frac{m}{q\varphi}}$，$n = 1,2,3\cdots$
解析
(1)粒子在竖直方向做匀加速直线运动，第一次到达G所需的时间为$t$，则有$d = \frac{1}{2}at^2$，$a = \frac{q\varphi}{2dm}$，
联立解得$t = 2d \sqrt{\frac{m}{q\varphi}}$。
(2)粒子穿过G板时的竖直方向的速度为$v = at$
粒子穿过G后，粒子的加速度为$a' = \frac{q\varphi}{dm} = 2a$
则粒子穿过G后，粒子在竖直方向做匀减速直线运动，竖直方向的速度减为0所用的时间为$t' = \frac{v}{a'} = \frac{v}{2a} = \frac{1}{2}t$，
因为$d = \frac{v}{2}t$，则$d' = \frac{v}{2}t' = \frac{1}{2}d$
所以粒子穿过G后距Q板的最近距离$y = d - \frac{1}{2}d = \frac{1}{2}d$。
(3)若粒子恰好沿水平方向飞离电场，即粒子在竖直方向速度为0，粒子在竖直方向先做匀加速直线运动$t$加速到$v$，后做匀减速直线运动$\frac{1}{2}t$减速到0，再接着反向匀加速直线运动$\frac{1}{2}t$加速到$v$，然后匀减速直线运动$t$减速到0，竖直方向做周期性运动，水平方向一直做匀速直线运动，则粒子恰好沿水平方向飞离电场的时间为$t_{总} = n(t + \frac{1}{2}t)$，$n = 1,2,3\cdots$
金属板的长度为$L = v_0t_{总} = 3nv_0d \sqrt{\frac{m}{q\varphi}}$，$n = 1,2,3\cdots$。

【例 3】(2024·福建泉州市一模)
空间存在一竖直向下的匀强电场，$O$、$P$ 是电场中的两点。从 $O$ 点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为 $m$ 的小球 $A$、$B$。$A$ 不带电，$B$ 的电荷量为 $q(q＞0)$。$A$ 从 $O$ 点发射时的速度大小为 $v_0$，到达 $P$ 点所用时间为 $t$；$B$ 从 $O$ 点到达 $P$ 点所用时间为 $\frac{t}{2}$。重力加速度为 $g$，求：
(1) $O$ 点与 $P$ 点的高度差；$\frac{1}{2}gt^2$$4g$
(2) $B$ 小球的加速度大小和电场强度的大小；

(3) $B$ 运动到 $P$ 点时的动能。$\frac{3mg}{q}$$2m(v_0^2 + g^2t^2)$

答案： 例3
(1)$\frac{1}{2}gt^2$
(2)$4g$ $\frac{3mg}{q}$
(3)$2m(v_0^2 + g^2t^2)$
解析
(1)小球A在竖直方向做自由落体运动，因此高度差为$h = \frac{1}{2}gt^2$
(2)设电场强度的大小为E，小球B运动的加速度为$a$。根据牛顿第二定律、运动学公式和题给条件，有$mg + qE = ma$
$\frac{1}{2}a(\frac{t}{2})^2 = \frac{1}{2}gt^2$
解得$a = 4g$，$E = \frac{3mg}{q}$
(3)设B从O点发射时的速度为$v_1$，到达P点时的动能为$E_k$，O、P两点的高度差为$h$，根据动能定理有$E_k - \frac{1}{2}mv_1^2 = mgh + qEh$
且有$v_1 \frac{t}{2} = v_0t$
$h = \frac{1}{2}gt^2$
联立得$E_k = 2m(v_0^2 + g^2t^2)$。