《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

例5（2023·福建卷·15）
一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴 $OO'$ 上的 $O$ 点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于 $O$ 点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度 $L = 0.2\ m$，杆与竖直转轴的夹角 $\alpha$ 始终为 $60°$，弹簧原长 $x_0 = 0.1\ m$，弹簧劲度系数 $k = 100\ N/m$，圆环质量 $m = 1\ kg$；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取 $10\ m/s^2$，摩擦力可忽略不计。
(1) 若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到 $O$ 点的距离；
(2) 求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；
(3) 求圆环处于细杆末端 $P$ 时，细杆匀速转动的角速度大小。(1)0.05 m　(2)$\frac{10\sqrt{6}}{3}\ rad/s$　(3)10 rad/s

答案：
例5　
(1)$0.05\ m$　
(2)$\frac{10\sqrt{6}}{3}\ rad/s$　
(3)$10\ rad/s$
解析　
(1)当细杆和圆环处于静止状态，对圆环受力分析得
　　　　　　　　　　 受弹簧弹力$F_{T0} = mg\cos\alpha = 5\ N$
根据胡克定律$F = k\Delta x$得$\Delta x_{0} = \frac{F_{T0}}{k} = 0.05\ m$
弹簧弹力沿杆向上，故弹簧处于压缩状态，弹簧此时的长度即为圆环到$O$点的距离
$x_{1} = x_{0} - \Delta x_{0} = 0.05\ m$
(2)若弹簧处于原长，则圆环仅受重力和支持力，其合力使得圆环沿水平方向做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律得$\frac{mg}{\tan\alpha} = m\omega_{0}^{2}r$
由几何关系得圆环此时做匀速圆周运动的半径为$r = x_{0}\sin\alpha$
联立解得$\omega_{0} = \frac{10\sqrt{6}}{3}\ rad/s$
(3)圆环处于细杆末端$P$时，圆环受重力、支持力、
　　　　　　　　 沿杆向下的弹力。
根据胡克定律得$F_{T} = k(L - x_{0}) = 10\ N$
对圆环受力分析并正交分解，竖直方向受力平衡，水平方向合力提供向心力，
则有$mg + F_{T}\cos\alpha = F_{N}\sin\alpha$，
$F_{T}\sin\alpha + F_{N}\cos\alpha = m\omega^{2}r$
由几何关系得$r = L\sin\alpha$
联立解得$\omega = 10\ rad/s$。

例6(多选)(2025·湖南衡阳市段考)
四个完全相同的小球 A、B、C、D 均在水平面内做圆锥摆运动。如图甲所示，小球 A、B 在同一水平面内做圆锥摆运动(连接 B 球的绳较长)；如图乙所示，小球 C、D 在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接 C、D 的绳与竖直方向的夹角相等(连接 D 球的绳较长)，则下列说法正确的是(ACD)


A.小球 A、B 角速度大小相等
B.小球 A、B 线速度大小相等
C.小球 C、D 向心加速度大小相等
D.小球 D 受到绳的拉力与小球 C 受到绳的拉力大小相等

答案： 例6　ACD　[对题图甲中A、B分析，设绳与竖直方向的夹角为$\theta$，绳长为$l$，小球的质量为$m$，小球A、B到悬点$O$的竖直距离为$h$，则$mgtan\theta = m\omega^{2}l\sin\theta$，解得$\omega = \sqrt{\frac{g}{l\cos\theta}} = \sqrt{\frac{g}{h}}$，所以小球A、B的角速度大小相等，A、B做圆周运动的半径不同，则线速度大小不相等，故A正确，B错误；对题图乙中C、D分析，设绳与竖直方向的夹角为$\theta$，小球的质量为$m$，绳上拉力为$T$，则有$mgtan\theta = ma_{n}$，$T\cos\theta = mg$，得$a_{n} = g\tan\theta$，$T = \frac{mg}{\cos\theta}$，所以小球C、D向心加速度大小相等，小球C、D受到绳的拉力大小也相等，故C、D正确。]

1. 如图所示，向心力 $F_{向}=mg\tan\theta = m\frac{v^2}{r} = m\omega^2 r$，且 $r = L\sin\theta$，联立解得 $v = \sqrt{gL\tan\theta\sin\theta}$，$\omega = \sqrt{\frac{g}{L\cos\theta}}$。

2. 稳定状态下，$\theta$ 角越大，对应的角速度 $\omega$ 和线速度 $v$ 就越大，小球受到的拉力 $F = \frac{mg}{\cos\theta}$ 和运动所需的向心力也越大。

答案： （题目未明确设问，若为对结论正确性判断，则结论正确）