《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例1】(多选)(2024·安徽淮北市二模)在电子技术中，科研人员经常通过在适当的区域施加磁场控制带电粒子的运动。如图所示，正方形$abcd$边长为$L$，一束相同的正离子以相同的速度$v$垂直$ab$边射入，如果在$abcd$的某区域内存在着磁感应强度大小为$B$、方向垂直纸面的匀强磁场，最终所有离子均从$c$点射出，不计离子的重力和离子间的相互作用，则(BD)

A.磁场方向垂直纸面向里
B.离子的比荷为$\frac{v}{BL}$
C.磁场区域的最小面积为$\frac{\pi L^{2}}{4}$
D.离子在磁场中运动的最长时间为$\frac{\pi L}{2v}$

答案：
例1　BD　[由题意可知，离子向下偏转，由左手定则知，磁场方向垂直纸面向外，故A错误;画出离子轨迹，如图，由图可知为磁聚焦模型，故运动半径$r = L$，再由$qvB = m\frac{v^{2}}{r}$得$\frac{q}{m} = \frac{v}{BL}$，故B正确;由图可知，磁场区域的最小面积为“叶”形面积$S = 2(\frac{\pi L^{2}}{4} - \frac{L^{2}}{2}) = \frac{(\pi - 2)L^{2}}{2}$，故C错误;离子在磁场中运动的最大圆心角为$\frac{\pi}{2}$，则最长时间为$t = \frac{\frac{\pi}{2}L}{v} = \frac{\pi L}{2v}$，故D正确。]

【例2】(多选)(2024·江西鹰潭市二模)如图，坐标原点$O$有一粒子源，能向坐标平面第一、二象限内发射大量质量为$m$、电荷量为$q$的正粒子(不计重力)，所有粒子速度大小相等，不计粒子间的相互作用。圆心在$(0,R)$、半径为$R$的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为$B$。磁场右侧有一长度为$R$、平行于$y$轴的光屏，其中心位于$(2R,R)$。已知初速度沿$y$轴正方向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则(AC)

A.粒子速度大小为$\frac{qBR}{m}$
B.所有粒子均能垂直射在光屏上
C.能射在光屏上的粒子中，在磁场中运动时间最长为$\frac{2\pi m}{3qB}$
D.能射在光屏上的粒子初速度方向与$x$轴正方向夹角满足$45^{\circ}\leqslant\theta\leqslant135^{\circ}$

答案：
例2　AC　[由题意，初速度沿$y$轴正方向的粒子经过磁场后，粒子的速度方向垂直$x$轴的正方向，则粒子的轨迹半径$r = R$，由$qvB = m\frac{v^{2}}{r}$，$R$，解得$v = \frac{BqR}{m}$，A正确;由于所有粒子的速度大小相等，方向不同，但粒子离开磁场区域的出射点距离$O$点的竖直高度最大值为$2R$，并不会全部垂直打在光屏上，B错误;如图甲，由几何关系可得，能射在光屏上的粒子中，运动时间最长的对应轨迹的圆心角为$\frac{2\pi}{3}$，根据周期公式$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{Bq}$，可得$t = \frac{1}{3}T = \frac{2\pi m}{3Bq}$，C正确;若能打在光屏下端，如图乙，由几何关系可得$\theta_{1} = 60^{\circ}$，即初速度与$x$轴正方向夹角为$\theta_{1} = 60^{\circ}$，同理，粒子打在光屏上端时，初速度与$x$轴正方向夹角为$\theta_{2} = 120^{\circ}$，则$60^{\circ} \leq \theta \leq 120^{\circ}$，D错误。]