《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例 3】(2024·湖北卷·12)某同学设计了一个测量重力加速度大小 $ g $ 的实验方案，所用器材有：$ 2 $ g 砝码若干、托盘 $ 1 $ 个、轻质弹簧 $ 1 $ 根、米尺 $ 1 $ 把、光电门 $ 1 $ 个、数字计时器 $ 1 $ 台等。
具体步骤如下：
① 将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图(a)所示。
② 用米尺测量平衡时弹簧的长度 $ l $，并安装光电门。
③ 将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。
④ 用数字计时器记录 $ 30 $ 次全振动所用时间 $ t $。
⑤ 逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。
该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期 $ T = 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}} $，其中 $ k $ 为弹簧的劲度系数，$ M $ 为振子的质量。
(1) 由步骤④，可知振动周期 $ T = $ $\frac{t}{30}$。

(2) 设弹簧的原长为 $ l_{0} $，则 $ l $ 与 $ g $、$ l_{0} $、$ T $ 的关系式为 $ l = $ $l_0 + \frac{gT^{2}}{4\pi^{2}}$。
(3) 由实验数据作出的 $ l - T^{2} $ 图线如图(b)所示，可得 $ g = $ 9.59 $ m/s^{2} $(保留三位有效数字，$ \pi^{2} $ 取 $ 9.87 $)。
(4) 本实验的误差来源包括 AC(填标号)。
A. 空气阻力
B. 弹簧质量不为零
C. 光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
提醒：完成作业 第八章 第 40 练

答案： 例3　
(1)$\frac{t}{30}$　
(2)$l_0 + \frac{gT^{2}}{4\pi^{2}}$　
(3)9.59
(4)AC
解析　
(1)30次全振动所用时间$t$，则振动周期$T = \frac{t}{30}$
(2)弹簧振子的振动周期$T = 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}}$，可得振子的质量$M = \frac{kT^{2}}{4\pi^{2}}$
振子平衡时，根据平衡条件$Mg = k\Delta l$可得$\Delta l = \frac{gT^{2}}{4\pi^{2}}$
则$l$与$g$、$l_0$、$T$的关系式为$l = l_0 + \Delta l = l_0 + \frac{gT^{2}}{4\pi^{2}}$
(3)根据$l = l_0 + \frac{gT^{2}}{4\pi^{2}}$整理可得$l = l_0 + \frac{g}{4\pi^{2}} \cdot T^{2}$
则$l - T^{2}$图像斜率$k = \frac{g}{4\pi^{2}} = \frac{0.542 - 0.474}{0.58 - 0.30} m/s^2$
解得$g \approx 9.59 m/s^2$
(4)空气阻力的存在会影响弹簧振子的振动周期，是实验的误差来源之一，故A正确；
弹簧质量不为零导致振子在平衡位置时弹簧的长度变化，不影响其他操作，根据
(3)解析可知对实验结果没有影响，故B错误；
根据实验步骤可知光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置会影响振子周期的测量，是实验的误差来源之一，故C正确。