《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

某同学为研究雨滴下落的规律查阅资料，了解到：较大的雨滴，其运动模型可看成是1000m高空的物体在有空气阻力的空间中由静止开始下落的运动，落地速度为4m/s。请分析雨滴下落的运动过程，描述雨滴下落过程中速度和加速度的变化，并定性作出雨滴下落的v-t图像（设空气阻力与速度大小成正比）。

答案： 速度变化：
雨滴由静止开始下落，初始速度为0；由于空气阻力与速度成正比（$f=kv$），初始阻力为0，合力向下，速度逐渐增大；随着速度增大，阻力增大，加速度减小，速度增大得越来越慢；当阻力等于重力（$kv=mg$）时，加速度为0，速度达到最大值（收尾速度4m/s），之后以4m/s匀速下落至地面。即速度从0开始，先做加速度减小的加速运动，最终达到4m/s并保持匀速。
加速度变化：
初始时刻速度为0，阻力$f=0$，合力$F=mg$，加速度$a=g$；随着速度增大，阻力$f=kv$增大，合力$F=mg-kv$减小，加速度$a=\frac{mg-kv}{m}=g-\frac{kv}{m}$逐渐减小；当$kv=mg$时，合力$F=0$，加速度$a=0$，之后加速度保持为0。即加速度从$g$开始逐渐减小至0。
v-t图像定性特征：
图像起点为$(0,0)$；初始阶段为曲线，斜率（加速度）逐渐减小；当速度达到4m/s时，斜率变为0（水平直线），此后保持$v=4m/s$的水平线段直至落地。

【例3】(2024·北京朝阳区一模)如图所示，竖直轻弹簧下端固定在水平面上，一小球从弹簧正上方某一高度处由静止开始自由下落，接触弹簧后把弹簧压缩到一定程度(在弹性限度内)，不计空气阻力。则(B)


A.从接触弹簧到运动至最低点的过程中，小球的加速度不断增大
B.从接触弹簧到运动至最低点的过程中，小球的速度先增大后减小
C.从接触弹簧到运动至最低点的过程中，小球的机械能守恒
D.小球在最低点时所受的弹力大小等于其所受的重力大小

答案： 例3　B　[小球从接触弹簧到运动至最低点的过程中，受重力和弹簧弹力作用，弹力从零逐渐增大，开始阶段弹力小于重力，小球合力向下，做加速运动，当弹力等于重力时，所受合外力为零，加速度为零，之后弹力大于重力，合力向上，小球做减速运动，故小球加速度先减小后增大，速度先增大后减小，A错误，B正确；小球从接触弹簧到运动至最低点的过程中，弹簧弹力对小球做负功，小球机械能减少，转化为弹簧弹性势能，C错误；小球在最低点时所受的弹力大小大于其所受的重力大小，D错误。]

【例4】(2022·全国乙卷·15)如图，一不可伸长轻绳两端各连接一质量为m的小球，初始时整个系统静置于光滑水平桌面上，两球间的距离等于绳长L。一大小为F的水平恒力作用在轻绳的中点，方向与两球连线垂直。当两球运动至二者相距$ \frac{3}{5}L $时，它们加速度的大小均为(A)


A.$ \frac{5F}{8m} $
B.$ \frac{2F}{5m} $
C.$ \frac{3F}{8m} $
D.$ \frac{3F}{10m} $

答案：
例4　A　[当两球运动至二者相距$\frac{3}{5}L$时，如图所示，由几何关系可知$\sin\theta=\frac {\frac {3L}{2}}{\frac {5L}{2}}=\frac {3}{5}$由数学知识可知$\cos\theta=\frac {4}{5}$，设绳子拉力为$F_T$，对结点$O$，由平衡条件：水平方向有$2F_T\cos\theta=F$，解得$F_T=\frac {5}{8}F$对任意小球由牛顿第二定律有$F_T=ma$解得$a=\frac {5F}{8m}$，故A正确，B、C、D错误。]

【例5】(2024·湖南卷·3)如图，质量分别为4m、3m、2m、m的四个小球A、B、C、D，通过细线或轻弹簧互相连接，悬挂于O点，处于静止状态，重力加速度为g。若将B、C间的细线剪断，则剪断瞬间B和C的加速度大小分别为(A)


A.g，1.5g
B.2g，1.5g
C.2g，0.5g
D.g，0.5g
思考
为什么绳或杆中的弹力能发生突变，而弹簧（两端固定时）中的弹力不能发生突变？绳或杆形变不明显，可以认为它们恢复原来的形状，不需要时间，弹力立即消失或改变，但弹簧形变明显，恢复原来的形状需要时间，故弹簧中的弹力不会发生突变。
拓展
若例5中小球C、D间是用细线连接的，剪断B、C间细线瞬间，求小球C的加速度大小及C、D间细线拉力大小？

答案： 例5　A　[剪断前，对B、C、D整体受力分析，A、B间轻弹簧的弹力$F_{AB}=(3m + 2m + m)g = 6mg$对D受力分析，C、D间轻弹簧的弹力$F_{CD}=mg$剪断后，对B：$F_{AB}-3mg=3ma_B$解得$a_B=g$，方向竖直向上对C：$F_{DC}+2mg=2ma_C$，且$F_{CD}=F_{DC}$解得$a_C=1.5g$，方向竖直向下，故选A。]
@@绳或杆形变不明显，可以认为它们恢复原来的形状，不需要时间，弹力立即消失或改变，但弹簧形变明显，恢复原来的形状需要时间，故弹簧中的弹力不会发生突变。
@@g　0 解析　假设C、D间细线拉力大小为T，剪断B、C间细线瞬间，两球运动状态相同，对C：$2mg+T=2ma$ ①对D：$mg-T=ma$ ②联立①②可得：$a=g$，$T=0$。