《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

物体做竖直上抛运动，取竖直向上为正方向，在上述速度与时间的关系式中，把时间t代入后，若速度v为负值，负号表示什么意义？在上述位移与时间的关系式中，把时间t代入后，若位移为负值，又表示什么意义？

答案： 在速度与时间的关系式 $v = v_0 - gt$ 中，若代入时间 $t$ 后计算出的速度 $v$ 为负值，负号表示物体运动方向与规定的正方向（竖直向上）相反，即物体此时在向下运动。
在位移与时间的关系式 $h = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$ 中，若代入时间 $t$ 后计算出的位移 $h$ 为负值，表示物体的位置在抛出点的下方。

例4
为测试一物体的耐摔性，在离地25m高处，将其以20m/s的速度竖直向上抛出，重力加速度g取10m/s²，不计空气阻力，则物体
(1)经过多长时间到达最高点？
(2)抛出后离地的最大高度是多少？
(3)经过多长时间回到抛出点？2 s45 m
(4)经过多长时间落到地面？
(5)经过多长时间离抛出点15m？4 s5 s1 s3 s(2 + √7) s

答案： 例4
(1)$2 s$
(2)$45 m$
(3)$4 s$
(4)$5 s$
(5)$1 s$ $3 s$ $(2 + \sqrt{7}) s$ 解析
(1)运动到最高点时速度为0， 由$v = v_0 - gt_1$得$t_1 = \frac{v - v_0}{-g} = \frac{v_0}{g} = 2 s$
(2)由$v_0^2 = 2gh_{max}$得$h_{max} = \frac{v_0^2}{2g} = 20 m$， 所以$H_{max} = h_{max} + h_0 = 45 m$
(3)法一：分段，由
(1)
(2)知上升时间$t_1 = 2 s$， $h_{max} = 20 m$，下落时，$h_{max} = \frac{1}{2}gt_2^2$， 解得$t_2 = 2 s$，故$t = t_1 + t_2 = 4 s$ 法二：由对称性知返回抛出点时速度为$20 m/s$，方向向下，则由$v_t = v_0 - gt$，得$t = \frac{v_t - v_0}{-g} = 4 s$ 法三：由$h = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$，令$h = 0$， 解得$t_3 = 0$（舍去），$t_4 = 4 s$
(4)法一：分段法 由$H_{max} = \frac{1}{2}gt_5^2$，解得$t_5 = 3 s$， 故$t_{总} = t_1 + t_5 = 5 s$ 法二：全程法 由$-h_0 = v_0t' - \frac{1}{2}gt'^2$ 解得$t_6 = -1 s$（舍去），$t_7 = 5 s$
(5)当物体在抛出点上方时，$h = 15 m$， 由$h = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$， 解得$t_8 = 1 s$，$t_9 = 3 s$， 当物体在抛出点下方时，$h = -15 m$， 由$h = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$，得$t_{10} = (2 + \sqrt{7}) s$，$t_{11} = (2 - \sqrt{7}) s$（舍去）。

1. 竖直上抛运动的研究方法：

若v ＞ 0，物体上升，若v ＜ 0，物体下落
2. 竖直上抛运动的多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性。

答案： 1. 分段法：
上升阶段：$a = g$（方向向下）的匀减速直线运动，速度减为零时到达最高点。
下降阶段：自由落体运动。
2. 全程法：
初速度$v_0$向上，加速度$g$向下的匀变速直线运动，以竖直向上为正方向，速度公式$v = v_0 - gt$，位移公式$h = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$。
速度判断：若$v＞0$，物体上升；若$v ＜ 0$，物体下落。
位移判断：若$h＞0$，物体在抛出点上方；若$h＜0$，物体在抛出点下方。

例5
(2025·北京师范大学附属实验中学零模)在游乐场中有一种大型游戏项目“垂直极限”，如图所示，参加游戏的游客被安全带固定在座椅上，由电动机将座椅沿竖直轨道(可视为光滑轨道)提升到离地面一定高度处，然后由静止释放，可以认为座椅沿轨道做自由落体运动，下落2s后座椅受到压缩空气提供的恒定阻力作用而立即做匀减速运动，再经历4s座椅速度恰好减为零，关于座椅的运动情况，下列说法正确的是(A)

A.自由落体阶段和匀减速阶段的平均速度大小之比$\overline{v}_1:\overline{v}_2 = 1:1$
B.自由落体阶段和匀减速阶段的平均速度大小之比为$\overline{v}_1:\overline{v}_2 = 2:1$
C.自由落体阶段和匀减速阶段的位移大小之比x₁:x₂ = 2:1
D.自由落体阶段和匀减速阶段的加速度大小之比a₁:a₂ = 1:2

答案： 例5 A [设全过程最大速度为$v_m$，根据匀变速直线运动推论：$v = \frac{v_0 + v}{2}$可知自由落体阶段和匀减速阶段的平均速度$v_1 = v_2 = \frac{0 + v_m}{2} = \frac{v_m}{2}$，故A正确，B错误；根据$x = \bar{v}t$可知$\frac{x_1}{x_2} = \frac{t_1}{t_2} = \frac{1}{2}$，故C错误；根据$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$可知$\frac{a_1}{a_2} = \frac{t_2}{t_1} = \frac{2}{1}$，故D错误。]